[論文レビュー] Towards a Generalisation of Noether's Theorem to Nonclassical Hopf-Galois Structures

Paul J. Truman|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、p進体および数体の正則分岐拡大における非古典的ホップ＝ガロア構造へ、整数環が群環上自由であるというノイターの定理を一般化する。pが次数を割らない未分岐または可換なホップ＝ガロア構造に対して、整数環がホップ代数における関連順序上自由であることを証明し、古典的結果を非古典的状況へ拡張する。

ABSTRACT

We study the nonclassical Hopf-Galois module structure of rings of algebraic integers in some extensions of $ p $-adic fields and number fields which are at most tamely ramified. We show that if $ L/K $ is an unramified extension of $ p $-adic fields which is $ H $-Galois for some Hopf algebra $ H $ then $ \OL $ is free over its associated order $ \AH $ in $ H $. If $ H $ is commutative, we show that this conclusion remains valid in ramified extensions of $ p $-adic fields if $ p $ does not divide the degree of the extension. By combining these results we prove a generalisation of Noether's theorem to nonclassical Hopf-Galois structures on domestic extensions of number fields.

研究の動機と目的

• 正則分岐拡大における整数環が群環上自由であることを保証するノイターの定理を、非古典的ホップ＝ガロア構造へ拡張すること。
• 古典的構造が成立しない非古典的ホップ＝ガロア構造においても、代数的整数環がその関連順序上自由のまま保たれるかを調査すること。
• 非古典的ホップ代数における関連順序が最大順序となり、整数環が自由となる条件を確立すること。
• p進体からの結果を数体へ一般化するために、素数における完備化と局所自由性を分析すること。

提案手法

• ホップ代数における関連順序を用いて、整数環が自由となる最大の部分環を定義する。
• ホップ＝ガロア理論を応用し、ねじれ群代数を通じて構造の分類を群論的問題に還元する。
• 未分岐拡大では、任意のホップ代数における関連順序がホップ順序であるという事実を活用し、自由性を保証する。
• 可換ホップ代数に対しては、pが次数を割らない場合、関連順序が最大順序であり、整数環がそれ上に自由であることを証明する。
• 素数における完備化技術を用いて、p進体上での局所的結果をグローバルな数体へ拡張する。
• 未分岐および正則分岐拡大の結果を組み合わせ、『国内的』拡大を定義し、グローバル設定における局所自由性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進体の正則分岐拡大における非古典的ホップ＝ガロア構造において、整数環が関連順序上自由となる条件は何か？
• RQ2 拡大が未分岐であるとき、古典的ノイターの定理は非古典的ホップ＝ガロア構造へ一般化可能か？
• RQ3 素数pが拡大の次数を割らない場合、可換ホップ代数における整数環がその関連順序上自由であるか？
• RQ4 p進体上での局所的結果を、完備化と局在化を用いてどのようにグローバルな数体へ拡張できるか？
• RQ5 どのような拡大の条件が、非古典的ホップ＝ガロア構造における関連順序が最大順序となることを保証するか？

主な発見

• p進体の未分岐拡大では、任意のホップ代数がホップ＝ガロア構造を与える場合、整数環はその関連順序上自由である。
• p進体の正則分岐拡大で、可換ホップ代数を用いる場合、pが次数を割らない限り、整数環はその関連順序上自由である。
• 数体の国内的拡大における非古典的ホップ＝ガロア構造では、関連順序が最大順序であり、整数環はそれ上に局所自由である。
• 正則分岐で、位数が素数べきであるアーベル的ガロア拡大では、任意の可換ホップ＝ガロア構造において、整数環は関連順序上局所自由である。
• 次数を割らない素数における関連順序の完備化は、局所化ホップ代数における唯一の最大順序である。