[論文レビュー] Towards a Global Springer Theory II: the double affine action

Zhiwei Yun|ArXiv.org|Apr 22, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、先行研究におけるアフィンワイル群作用を拡張して、階数付き二重アフィンヘッケ代数（DAHA）の作用を放物型ヒチン複体に構成する。Picardスタックのカップ積作用と統合することで、曲線上の除数を持つ場合の放物型ヒチンファイバーのコホモロジーに完全な対称性構造を明らかにするグローバルスプリンジャーサイエンスを確立する。

ABSTRACT

We construct an action of the graded double affine Hecke algebra (DAHA) on the parabolic Hitchin complex, extending the affine Weyl group action constructed in \cite{GSI}. In particular, we get representations of the degenerate DAHA on the cohomology of parabolic Hitchin fibers. We also generalize our construction to {\em parahoric} versions of Hitchin stacks, including the construction of 'tHooft operators as a special case. We then study the interaction of the DAHA action and the cap product action given by the Picard stack acting on the parabolic Hitchin stack.

研究の動機と目的

• 放物型ヒチン複体上のアフィンワイル群作用を、階数付き二重アフィンヘッケ代数（DAHA）の完全な作用に拡張すること。
• この構成を、ヒチンスタックのパラホリック版、特に't Hooft作用素のケースを含めて一般化すること。
• 放物型ヒチンスタック上のDAHA作用とPicardスタックのカップ積作用の相互作用を研究すること。
• DAHA、チャーン類、カップ積作用を統合した、放物型ヒチンファイバーのコホモロジーに完全な対称性構造を確立すること。
• ヒチン対応とバンドルのパラホリック構造を持つモジュライスタック上の同等コホモロジー構成を通じて、DAHA作用の幾何的実現を提供すること。

提案手法

• パラホリックヒチンスタック上の行列式ラインバンドルへの、完備化されたカツ＝ムーディ群の作用を用いてDAHA作用を構成する。
• 拡張されたアフィンワイル群 $\ttilde{W}$ 及びその完備トーラス $\ttilde{T}$ への作用を用い、$\toverline{\bbQ}_\tell[\ttilde{W}]$ と $\tX^*(\ttilde{T})$ 上の対称代数のテンソル積によりDAHA構造を定義する。
• ヒチン対応とその $!$-引き戻しを用いて、放物型ヒチン複体 $f^{\text{par}}_*\toverline{\bbQ}_\tell$ 上の作用を定義する。
• カップ積作用のPicardスタック $\tcal{P}$ とDAHA作用との関係を、対応に $P$-等化構造を導入することで結びつける。
• 滑らかな準同型における引き戻しと作用の整合性を保証するため、基本変換定理および適切な基本変換定理を用いる。
• 対応の $!$-引き戻し同型および複体上の等化構造を用いて、カップ積作用とDAHA作用の可換性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物型ヒチン複体上のアフィンワイル群作用を、階数付き二重アフィンヘッケ代数（DAHA）の完全な作用にどのように拡張できるか。
• RQ2 ヒチン対応とバンドルのパラホリック構造を持つモジュライスタックを用いた、DAHA作用の幾何的実現は何か。
• RQ3 Picardスタックのカップ積作用が、放物型ヒチンファイバーのコホモロジー上でのDAHA作用とどのように相互作用するか。
• RQ4 この構成を、't Hooft作用素を含むパラホリック版ヒチンスタックに一般化できるか。
• RQ5 $\tpi_0(\tcal{P}/\tcal{A})$-作用と $\toverline{\bbQ}_\tell[\tX_*(T)]^W$-作用の間の正確な関係は何か。

主な発見

• 本稿は、[YunI] におけるアフィンワイル群作用を拡張して、放物型ヒチン複体 $f^{\text{par}}_*\toverline{\bbQ}_\tell$ に階数付き二重アフィンヘッケ代数のwell-definedな作用を構成する。
• DAHA作用は、群環 $\toverline{\bbQ}_\tell[\ttilde{W}]$ と $\tX^*(\ttilde{T})$ 上の対称代数のテンソル積により実現され、$u$ は次数2の中心的元である。
• Picardスタック $\tcal{P}$ のカップ積作用は、$P$-等化対応と基本変換定理を用いてDAHA作用と可換であることが示された。
• ヒチン対応の畳み込み代数を用いて、この構成はパラホリックヒチンスタック、特に't Hooft作用素のケースに一般化される。
• DAHA作用とカップ積作用の相互作用は、$\text{Corr}(C;\tcal{F},\tcal{G})$ と $\tbf{H}_*(P/S)$ を含む可換図式を通じて形式化され、整合性が証明された。
• 特徴が 0 である場合、$\tcal{A} = \tcal{A}^{\text{ani}}$ が十分であり、全域的に余次元推定が成立することが保証される。