[論文レビュー] Towards a Jordan decomposition of blocks of finite reductive groups

Michel Enguehard|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限再帰的群のブロックに対してジョルダン分解を確立する。そのために、$ℝ_q$ 上に定義された再帰的群$H$を構成し、そのユニポテンツ$ι$-ブロックが、与えられた有理ルスツィグ系列内の$GF$の$ι$-ブロックと、高さを保ち、特徴群およびブラウアー型圏に関して同型な対応関係にあることを示す。主な貢献は、$ι$および群の型に関するやや穏当な条件下で、$GF$のブロックの既約表現と$H$のユニポテンツブロックの間で、一対一かつ構造を保つ対応関係を確立することにある。

ABSTRACT

\input amssym.def \input amssym.tex Let $G$ be a connected algebraic reductive group over an algebraic closure of a prime field ${\Bbb F}_p$, defined over ${\Bbb F}_q$ thanks to a Frobenius $F$. Let $\ell$ be a prime different from $p$. Let $B$ be an $\ell$-block of the subgroup of rational points $G^F$. Under mild restrictions on $\ell$, we show the existence of an algebraic reductive group $H$ defined over ${\Bbb F}_q$ {\it via} a Frobenius $F$, and of a unipotent $\ell$-block $b$ of $H^F$ such that : the respective defect groups of $b$ and $B$ are isomorphic, the associated Brauer categories are isomorphic and there is a height preserving one-to-one map from the set of irreducible representations of $b$ onto the set of irreducible representations of $B$. \end

研究の動機と目的

• 有限再帰的群の$ι$-ブロックへ、既知の既約表現に対するジョルダン分解を拡張すること。
• そのユニポテンツ$ι$-ブロックが$GF$内の$ι$-ブロックの表現論的構造を模倣する有限再帰的群$H$を構成すること。
• $ι$に関するやや穏当な条件の下で、$GF$のブロックと$H$のユニポテンツブロックの間で、高さを保ち、特徴群およびブラウアー型圏に関して同型な対応関係を確立すること。
• ブロックの分類および一般化されたハリシュ＝チャンドラ理論を用いた、組合せ論的根拠に基づいた修正済みの証明により、先行研究における不正確さを是正すること。

提案手法

• フロベニウス$F$を用いて、$ℝ_q$ 上に定義される、中心化子$C_{G^*}(s)$の双対となる再帰的群$G(s)$を構成する。
• ルスツィグ関手$R^G_L$を用いて、表現のルスツィグ系列およびジョルダン分解を適用し、$E(G^F, s)$および$E(C_{G^*}(s)^F, 1)$における表現を関連付ける。
• カバネスとエンゲハールトによる「カスピダルデータ」を用いた$ι$-ブロックの分類を応用し、ブロックを組合せ論的にパラメトライズする。
• 正則埋め込み$G \to H$におけるクライフォード理論を用いて、中心化子の非連結成分とそのブロック構造への影響を分析する。
• ユニポテンツ表現に対する一般化されたハリシュ＝チャンドラ理論を適用し、$\operatorname{Irr}(B)$および$\operatorname{Irr}(b)$をカスピダルデータの言語で記述する。
• 根データおよび$\delta$-コア分割を用いて、表現対応における組合せ論的パラメータを制御するため、帰納的議論と最小ケースへの還元に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限再帰的群における$ι$-ブロックに対して、既知の既約表現に対する分解と類似したジョルダン分解を確立できるか？
• RQ2 群の構造および$ι$に関するどのような条件下で、関連する有限再帰的群$H$のユニポテンツ$ι$-ブロックが、与えられたルスツィグ系列内の$GF$のブロックと一対一に対応するか？
• RQ3 $H^F$のユニポテンツブロック$b$と$G^F$のブロック$B$の間で、高さを保ち、特徴群およびブラウアー型圏に関して同型な対応関係が存在するか？
• RQ4 中心化子$C_{G^*}(s)$が連結でない場合、カスピダルデータおよび一般化されたハリシュ＝チャンドラ理論を用いて、$G^F$内のブロック構造をどのように組合せ論的に記述できるか？
• RQ5 中心化子$C_{G^*}(s)$が連結でない場合、正則埋め込みおよびクライフォード理論を用いて、ブロック対応におけるその影響をどの程度まで補正できるか？

主な発見

• 任意の有理ルスツィグ系列$E(G^F, s)$に属する$ι$-ブロック$B$に対して、$ℝ_q$ 上に定義された再帰的群$H$が存在し、そのユニポテンツ$ι$-ブロックは$B$と一対一かつ高さを保つ対応関係にある。
• $b$（$H^F$のユニポテンツブロック）と$B$の特徴群は、有限$ι$-群として同型である。
• $b$と$B$の関連するブラウアー型圏は同型であり、ブロック論的構造を保っている。
• $\operatorname{Irr}(b)$と$\operatorname{Irr}(B)$の間の対応は一対一であり、既約文字の高さを保っている。
• この構成は、$G(s)$と$C_{G^*}(s)$の双対性に依拠しており、$\ell$が$G$に対して良いことおよびやや穏当な制限を満たすという仮定の下で成り立つ。
• 証明は組合せ論的かつ帰納的であり、カバネスとエンゲハールトによるブロック分類および$\delta$-コアと$\delta$-カスピダルデータの性質に依拠している。