[論文レビュー] Towards a mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories, I

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、2次元球面上の$σ$-モデルのゲージ理論における3次元$σ$-モデルゲージ理論のクーロン枝の数学的定義を、モジュライ空間の消滅サイクルコホロジーを用いて提示する。コホロロジー群の次数付き次元が物理からのモノポール公式と一致することを検証し、クーロン枝の座標環に対する厳密な基礎を確立する。リング構造は続編で導入される予定である。

ABSTRACT

Consider the $3$-dimensional $\mathcal N=4$ supersymmetric gauge theory associated with a compact Lie group $G$ and its quaternionic representation $\mathbf M$. Physicists study its Coulomb branch, which is a noncompact hyper-Kähler manifold, such as instanton moduli spaces on $\mathbb R^4$, $SU(2)$-monopole moduli spaces on $\mathbb R^3$, etc. In this paper and its sequel, we propose a mathematical definition of the coordinate ring of the Coulomb branch, using the vanishing cycle cohomology group of a certain moduli space for a gauged $σ$-model on the $2$-sphere associated with $(G,\mathbf M)$. In this first part, we check that the cohomology group has the correct graded dimensions expected from the monopole formula proposed by Cremonesi, Hanany and Zaffaroni arXiv:1309.2657. A ring structure (on the cohomology of a modified moduli space) will be introduced in the sequel of this paper.

研究の動機と目的

• 3次元$σ$-モデルゲージ理論におけるクーロン枝を数学的に厳密に定義すること、特に$S^2$上に$σ$-モデルを持つ場合。
• 消滅サイクルコホロジーを用いて、クーロン枝の座標環の次数付き次元を確立すること。
• 特に$(G,\mathbf{M})$の$σ$-モデルに対して、物理からのモノポール公式と整合性を確認すること。
• 続編で完了予定の、コホロロジーへのリング構造の導入に向けた基盤を築くこと。
• 3次元$σ$-モデルゲージ理論における物理的直感と、代数幾何学および表現論における厳密な数学的構成を橋渡しすること。

提案手法

• $(G,\mathbf{M})$に対して、$S^2$上にゲージ化された$σ$-モデルに関連するモジュライ空間の消滅サイクルコホロロジー群を用いてクーロン枝を定義する。
• 予想される次数付き次元のベンチマークとして、Cremonesi, Hanany, Zaffaroniのモノポール公式を用いる。
• $q$-二項定理および無限積恒等式を用いて、コホロロジー次元の母関数を計算する。
• 分割と重みデータの間の全単射を用いて、重みに関する和を、各重み$\alpha$が出現する回数$k_\alpha$を用いて書き直す。
• 無限次元幾何におけるヒューリスティックなガイドとしてマサイ・クイレン形式を用いるが、厳密には適用しない。
• 平坦接続にヒッグス場を添付したモジュライ空間を扱い、無限次元設定における切断の零点集合に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次球面上のモジュライ空間の消滅サイクルコホロロジーは、モノポール公式が予測する正しい次数付き次元を持つクーロン枝の座標環をもたらすか？
• RQ2 3次元$σ$-モデルゲージ理論における既知の物理的不変量と照らし合わせて、クーロン枝の数学的構成が妥当であるかを検証できるか？
• RQ3 モジュライ空間のコホロロジーは、ゲージ群$G$およびそのクaternion的表現$\mathbf{M}$の表現論的データをどのように反映するか？
• RQ4 物理的QFTが厳密に定義されていなくても、代数幾何学を用いてクーロン枝をハイパーカイリィング多様体として一貫して定義できるか？
• RQ5 物理的および数学的整合性が予想するように、クーロン枝の構造にリング構造を拡張できるか？

主な発見

• 消滅サイクルコホロロジー群の次数付き次元は、Cremonesi, Hanany, Zaffaroniのモノポール公式の予測と正確に一致する。
• コホロロジー次元の母関数は、$q$-ポッホハマー記号の積として表現され、モノポール公式と一致することが確認された。
• 計算では、分割と重みデータの間の全単射が用いられ、重みに関する和が、各重み$\alpha$の出現回数$k_\alpha$を用いて書き直された。
• $m \in \mathbb{Z}$に関する和は、$m \geq 0$および$m < 0$に分けられ、発散する部分は1を引くことで相殺され、収束する表現が得られた。
• 最終的な母関数は$\prod_{\alpha=0}^\infty \frac{1}{(t^{N|\alpha|}z^{\alpha}\Lambda; t^2)_\infty} \cdot \prod_{\alpha=1}^\infty \frac{1}{(t^{N|\alpha|}z^{-\alpha}\Lambda; t^2)_\infty}$であり、モノポール公式と一致する。
• この結果により、提案されたコホロロジー的構成が、物理的期待に整合した形でクーロン枝の座標環を正しく符号化していることが確認された。