[論文レビュー] Towards a mathematical formalism for classifying phases of matter

Andreas Bauer, Jens Eisert+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2019

Quantum many-body systems参考文献 81被引用数 49

ひとこと要約

論文は、対称性の破れ、トポロジカル相、および関連構造を包含する、テンソル格子と局所移動に基づく統一的な数学的枠組みを提案し、2+1D における境界、欠陥、アニオンへの拡張を含む。

ABSTRACT

We propose a unified mathematical framework for classifying phases of matter. The framework is based on different types of combinatorial structures with a notion of locality called lattices. A tensor lattice is a local prescription that associates tensor networks to those lattices. Different lattices are related by local operations called moves. Those local operations define consistency conditions for the tensors of the tensor network, the solutions to which yield exactly solvable models for all kinds of phases. We implement the framework to obtain models for symmetry-breaking and topological phases in up to three space-time dimensions, their boundaries, defects, domain walls and symmetries, as well as their anyons for 2+1-dimensional systems. We also deliver ideas of how other kinds of phases, like SPT/SET, fermionic, free-fermionic, chiral, and critical phases, can be described within our framework. We also define another structure called contracted tensor lattices which generalize tensor lattices: The former associate tensors instead of tensor networks to lattices, and the consistency conditions for those tensors are defined by another kind of local operation called gluings. Using this generalization, our framework also covers mathematical structures like axiomatic (non-fully extended or defective) TQFTs, that do not directly describe phases on a microscopic physical level, but formalize certain aspects of potential phases, like the anyon statistics of 2+1-dimensional phases. We also introduce the very powerful concept of (contracted) tensor lattice mapping, unifying a lots of different operations, such as stacking, anyon fusion, anyon condensation, equivalence of different fixed point models, taking the Drinfel'd centre, trivial defects or interpreting a bosonic model as a fermionic model.

研究の動機と目的

• 物質の相を分類するための統一的な数学的枠組みを開発する。
• 格子上のテンソルネットワークに対する局所的な処方としてテンソル格子を導入する。
• 異なる格子を関連づける局所的な移動を定義し、一致性条件を課す。
• この枠組みを、最大で3つの時空次元までの対称性の破れとトポロジカル相に対して枠組みを示す。
• 拡張として境界、欠陥、領域壁、対称性、およびアニオンへの拡張を探究し、SPT/SET、フェルミオン、キラル、および臨界相の記述の概要を示す。

提案手法

• テンソル格子を、格子にテンソルネットワークを対応づける局所的な処方として定義する。
• 格子を関連づけ、テンソルネットワークを制約する局所的な移動を介して一貫性を課す。
• 縮約テンソル格子を結合を伴う形で導入し、それに対応する一貫性の概念を定義する。
• この枠組みが2+1次元および3+1次元のさまざまな相に対して正確に解けるモデルを産出する様子を示す。
• （縮約）テンソル格子写像の概念を発展させ、積み重ね、アニオン融合/凝縮、Drinfeld中心の解釈などの操作を統一する。
• 公理的TQFTへ関連づけて、直接的な微視的モデルを超える特定の相の側面を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の数学的形式論が、次元を超えて対称性の破れとトポロジカル相の両方を分類し得るか？
• RQ2 局所的な移動と一貫性条件は、異なる相に対してどのように正確に解けるモデルを生み出すか？
• RQ3 縮約テンソル格子と接合が、より広い相構造（例：TQFT、アニオン統計）を包含する上でどのような役割を果たすか？

主な発見

• 統一されたテンソル格子フレームワークは、3つの時空次元までの対称性の破れとトポロジカル相を説明できる。
• 局所的な移動は格子表現間の同値関係を定義し、テンソルネットワークの一貫性を課す。
• 縮約テンソル格子はテンソル格子を一般化し、結合と結びつき、境界、欠陥、およびアニオンの記述を可能にする。
• このアプローチは、同じ形式論内でSPT/SET、フェルミオン、自由フェルミオン、キラル、臨界相を記述する道を提供する。
• 公理的TQFTへの接続が確立され、2+1Dにおけるアニオン統計などの側面を形式化する。
• テンソル格子写像は、積み重ね、アニオン融合、凝縮、固定点モデルの同値性などの操作を統一する。