[論文レビュー] Towards a Mori theory on compact Kaehler threefolds,II

Thomas Peternell|ArXiv.org|Feb 4, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、コンpact Kähler 3次元多様体が非ネフな正則バンドルを持つ場合に、2つの条件下でMori収縮の存在を確立する。すなわち、3次元多様体が射影的3次元多様体によって近似可能である場合、または代数次元が2である場合である。この結果は、正の電流および有理曲線の理論を用いる解析的・代数的幾何的手法により、Mori理論をコンpact Kähler設定へと拡張するものであり、特に extremal 収縮の存在を示している。

ABSTRACT

We prove the existence of a Mori contraction on a compact Kaehler threefold whose canonical bundle is (analytically) not nef if the threefold can be approximated by projective threefolds or if the algebraic dimension is 2.

研究の動機と目的

• 射影的多様体に対して既に発展したMori理論を、より広いコンpact Kähler 3次元多様体の設定へと拡張すること。
• 正則バンドルがネフでない場合に、解析的設定における extremal 収縮を構成するという課題に取り組むこと。
• 2つの特定の幾何的条件下でのMori収縮の存在を確立すること：射影的3次元多様体によって近似可能であること、または代数次元が2であること。
• 代数幾何と複素幾何の間のギャップを埋めるために、Kähler文脈における最小モデルプログラムに解析的手法を適用すること。

提案手法

• 正の電流および擬・サブ調和関数の理論を用いて、正則バンドルのネフ性を分析する。
• コンpact Kähler多様体における有理曲線および有理的連結性の理論の結果を適用する。
• 3次元多様体が射影的3次元多様体によって近似可能である場合、近似技術を用いて問題を射影的ケースに還元する。
• 特に、ある種の有理写像の存在に着目して、代数次元が2であるコンpact Kähler 3次元多様体の構造理論を適用する。
• 特定の準同型写像の纤维内に有理曲線が存在することに依拠して extremal 収縮を構成する。
• 解析的手法により適合された、Kähler設定における錐定理および収縮定理の類似を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則バンドルがネフでない場合に、コンpact Kähler 3次元多様体上でMori収縮を構成することは可能か？
• RQ2 コンpact Kähler圏においてMori収縮の存在が成立する幾何的条件は何か？
• RQ3 射影的3次元多様体による近似が、Mori理論をKähler設定へと拡張するのをどのように支援するか？
• RQ4 代数次元は extremal 収縮の構成においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 解析的手法は、Kähler 3次元多様体の最小モデルプログラムにおいて、代数的手法をどの程度置き換えることができるか？

主な発見

• 非ネフな正則バンドルをもつコンpact Kähler 3次元多様体が射影的3次元多様体によって近似可能である場合、Mori収縮の存在が確立される。
• 3次元多様体の代数次元が2である場合、非ネフな正則バンドルの下でMori収縮の存在が証明される。
• 証明は、特定の準同型写像の纤维内に有理曲線が存在することに依拠しており、これは代数次元の条件によって保証される。
• 一般に代数的構造が欠如しているにもかかわらず、2つの重要な幾何的状況において、最小モデルプログラムがコンpact Kähler 3次元多様体へと拡張される。
• 用いられた手法は、解析的手法が extremal 収縮を構成する際に代数的手法を効果的に代替できることを示している。
• 本稿は、指定された条件下で主要な存在問題を解決することで、コンpact Kähler 3次元多様体における完全なMori理論への基盤的ステップを提供する。