[論文レビュー] Towards a new quantization of Dirac's monopole

Alexander I. Nesterov, F. Aceves de la Cruz|ArXiv.org|Aug 31, 2002

Crystallography and Radiation Phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ディラックの量子化則を課さずに、ディラック磁荷モノポール系を記述するため、回転群 SO(3) の非ユニタリ表現を提案する。荷電-モノポール系を、組み合わせた so(3) ⊕ so(2,1) 代数を介して自由なアリオンにモデル化することで、磁荷 μ がディラック条件 μ = 整数/2 を満たす必要のない無限次元の非ユニタリ表現を構築する。これは、任意のモノポール電荷をもつ非結合的量子力学の新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

There are several mathematical and physical reasons why Dirac's quantization must hold. How far one can go without it remains an open problem. The present work outlines a few steps in this direction.

研究の動機と目的

• ディラックの量子化則を課さずに、磁荷モノポール系の自己稠密な量子力学的記述を可能にするかを検討すること。
• ディラックモノポール問題の文脈において、回転群の非ユニタリ表現がもたらす物理的意味を調査すること。
• 荷電-モノポール系がスピン自由度をもつ自由なアリオンとして記述されるモデルを構築すること。
• モノポール系を非コンパクト群 SO(2,1) 及びその無限次元表現に関連付けることにより、任意の磁荷を可能にする

提案手法

• 磁荷モノポール場内における荷電粒子のハミルトニアンに基づく形式的枠組みを採用。全角運動量演算子は、ディラックストリング特異性を持つベクトルポテンシャルによって定義される。
• 軌道的角運動量には so(3) 代数、スピン自由度には so(2,1) 代数を用い、J_i = L_i + S_i により so(3) の非ユニタリ表現を構成する。
• 最高重態 |j,j⟩ = |l,l⟩ ⊗ |λ,0⟩ を構築し、降下演算子を用いて全非ユニタリ無限次元表現を生成する。ここで j = l − λ である。
• J_i 演算子の交換関係を導出し、非ユニタリ性にもかかわらず so(3) 代数の閉包性を示し、回転対称性を保証する。
• 球面上に一形式 θ = eA_i dx^i を導入し、シンプレクティック構造を定義。これにより {S_i, S_j} = ε_ijk S_k のポisson括弧が得られ、電磁的角運動量が古典的スピンとして特定される。
• so(2,1) 生成子に対して SU(1,1) の無限次元ユニタリ表現を採用。S_0, S_+, S_- は任意の λ と n ≥ 0 をもつ状態 |λ,n⟩ に作用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラックの量子化則を課さずに、ディラックモノポールの自己稠密な量子力学的記述を構築することは可能か？
• RQ2 モノポール問題において非ユニタリ表現を用いることで生じる物理的結果は何か？
• RQ3 荷電-モノポール系を、スピン自由度をもつ自由なアリオンとして再定式化することは可能か？
• RQ4 so(2,1) 代数は、非相対論的系における分数スピンや任意スピンを記述する上で果たす役割は何か？
• RQ5 非ユニタリ表現において m ≤ j となることが |m| ≤ j とは異なる場合、モノポール系のスペクトルおよび力学にどのような影響を与えるか？

主な発見

• モデルは、磁荷 μ が半整数や整数に制限されない非ユニタリで無限次元の SO(3) 表現を構築し、ディラックの量子化則とは異なる代替枠組みを提供する。
• 全角運動量演算子 J_i は、非ユニタリ性にもかかわらず、標準的な so(3) 交換関係 [J_i, J_j] = iε_ijk J_k を満たし、回転代数を保存する。
• 表現は m に関して上界を持つ（m ≤ j）が、標準的な有限次元ユニタリ表現とは異なり、|m| ≤ j とは異なる。
• 許容される値は μ² ≤ j(j+1) および j − μ ∈ ℤ を満たし、ディラック則とは独立した新たな量子化条件を提供する。
• 系は、スピンがパラメータ λ によって s = 1 − λ と関連づけられる自由なアリオンとして再解釈可能であり、(2+1)次元におけるアリオン統計と整合的である。
• S² 上で dθ = −(1/2S²)ε_ijk S_i dS_j ∧ dS_k を与えるシンプレクティック形式により、電磁的角運動量のスピン的挙動に幾何的基盤が与えられる。