[論文レビュー] Towards a probability-free theory of continuous martingales

Vladimir Vovk, Glenn Shafer|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、連続的な価格経路を持つ金融市場における連続時間マルティンゲールの確率論的仮定を一切用いない理論を展開する。ゲーム理論的確率を用いて、確率的仮定なしに上マルティンゲール、マルティンゲール、およびセミマルティンゲールを定義する。また、ダビンズ＝シュバルツの定理やギルサノフの定理といった主要な結果の確率論的でない類似定理を確立し、経路ごとの局所時刻と連続時間の資本過程を用いて、ゲーム理論的期待リターンおよびCAPM関係を導出する。

ABSTRACT

Without probability theory, we define classes of supermartingales, martingales, and semimartingales in idealized financial markets with continuous price paths. This allows us to establish probability-free versions of a number of standard results in martingale theory, including the Dubins-Schwarz theorem, the Girsanov theorem, and results concerning the Itô integral. We also establish the existence of an equity premium and a CAPM relationship in this probability-free setting.

研究の動機と目的

• 連続時間マルティンゲール理論の厳密で確率論的でない基礎を構築すること。
• 確率的過程や確率測度の仮定をせず、上マルティンゲール、マルティンゲール、およびセミマルティンゲールを定義すること。
• ダビンズ＝シュバルツの定理やギルサノフの定理といった古典的結果の経路的類似定理を確立すること。
• 連続的価格経路と資本過程のみを用いて、ゲーム理論的期待リターンおよびCAPM関係を導出すること。
• 主要な確率論的結果（例：繰り返し対数法則、中心極限定理）が、この枠組みにおいて経路的不等式としてどのように現れるかを示すこと。

提案手法

• 標本空間を、[0, ∞) 上の連続実数値関数の J-重組の集合とする。これは価格および情報経路を表す。
• 停止時刻と有界なベットを伴う単純な取引戦略を導入し、離散時間の利益によって連続的かつ適応的な資本過程を生成する。
• 非負の上マルティンゲールを、すべての非負の単純資本過程を含む最小の liminf-閉じたクラスとして定義する。
• 局所時刻が適切に定義され、局所時刻と二次変動を用いた経路的マルティンゲール性質を満たす連続過程として連続マルティンゲールを定義する。
• 情報過程 I の局所時を用いて定義される連続 I-マルティンゲールの概念を用い、確率積分および指数マルティンゲールの経路的類似定理を構築する。
• 経路的局所時刻と繰り返し対数法則を用いて、測度論的確率を用いずに、確率的極限定理に類似する不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度を仮定せずに、完全な連続マルティンゲール理論を構築できるか？
• RQ2 ダビンズ＝シュバルツの定理やギルサノフの定理といった古典的結果を、経路的かつ確率論的でない枠組みに再定式化できるか？
• RQ3 確率論的仮定なしに、連続時間市場におけるゲーム理論的期待リターンが存在するか？
• RQ4 期待値ではなく、局所時刻と二次変動に基づいてCAPMが経路的結果として導出可能か？
• RQ5 連続 I-マルティンゲールのクラスが、測度論的意味での連続局所マルティンゲールのクラスと一致する条件は何か？

主な発見

• 本稿は、確率論的でないダビンズ＝シュバルツの定理を確立し、すべての連続局所マルティンゲールが経路的に時間変換によってブラウン運動に変換可能であることを示した。
• 経路的ギルサノフの定理が証明され、測度の変更が確率測度を用いずに、時計の変更と局所時を用いて達成可能であることを示した。
• 過程 $ \exp\left(\epsilon(M^{S}_{t}-\Sigma^{S,I}_{t}) - \frac{\epsilon^2}{2}\Sigma^{S}_{t}\right) $ が連続 I-マルティンゲールであることが示され、経路的設定における指数マルティンゲールの一般化が達成された。
• 中心極限定理が不等式 $ \overline{\mathbb{P}}^{I}\left\{ \left| M^{S}_{\tau_T} - \Sigma^{S,I}_{\tau_T} \right| \geq z_{\delta/2}\sqrt{T} \right\} \leq \delta $ を用いて導出された。ここで $ \tau_T := \inf\{t : \Sigma^{S}_{t} \geq T\} $ である。
• 繰り返し対数法則が経路的に回復された：$ \Sigma^{S}_{t} \to \infty \Rightarrow \limsup_{t\to\infty} \frac{ |M^{S}_{t} - \Sigma^{S,I}_{t}| }{ \sqrt{2\Sigma^{S}_{t} \ln \ln \Sigma^{S}_{t}} } = 1 $ は、ゲーム理論的確率測度のもとでほとんど確実に成り立つ。
• CAPMは経路的不等式として再定式化された：$ \Sigma^{I}_{t} \gg 1 $ のとき $ M^{S}_{t} \approx \Sigma^{S,I}_{t} $ であり、期待リターンは情報過程の局所時から生じる。