[論文レビュー] Towards a renormalization theory for quasi-periodically forced one dimensional maps II. Asymptotic behavior of reducibility loss bifurcations

Pau Rabassa, Àngel Jorba+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元のレノルミズーション理論を準周期的に入力された1次元写像へと拡張し、周期倍分岐系列における還元可能性喪失分岐の漸近的挙動を分析する。本稿では、連続する分岐区間の比がフェイゲンバック定数 δ ≈ 4.669 に収束することを証明し、収束速度が準周期的結合のフーリエ係数に依存することを示し、強制された設定における普遍性を確立する。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with quasi-periodic forced one dimensional maps. We consider a two parametric family of quasi-periodically forced maps such that the one dimensional map (before forcing) is unimodal and it has a full cascade of period doubling bifurcations. Between one period doubling and the next one it is known that there exist a parameter value where the $2^n$-periodic orbit is superatracting. In a previous work we proposed an extension of the one-dimensional (doubling) renormalization operator to the quasi-periodic case. We proved that, if the family satisfies suitable hypotheses, the two parameter family has two curves of reducibility loss bifurcation around these parameter values. In the present work we study the asymptotic behavior of these bifurcations when $n$ grows to infinity. We show that the asymptotic behavior depends on the Fourier expansion of the quasi-periodic coupling of the family. The theory developed here provides a theoretical explanation to the behavior that can be observed numerically.

研究の動機と目的

• 1次元レノルミズーション理論を準周期的に入力された1次元写像へと拡張すること。
• 吸引的周期軌道の周期が無限大に近づく際の還元可能性喪失分岐の漸近的挙動を分析すること。
• 強制写像の分岐図における自己相似性と普遍性の数値的観察を理論的に説明すること。
• 分岐区間の収束速度が準周期的結合関数のフーリエ展開に依存することを確立すること。

提案手法

• ディオファントス周波数を持つ2パラメータ族の写像を用いて、1次元の倍加レノルミズーション作用素を準周期的設定に適応する。
• 共役性に基づくアプローチを用いて、動的システムを写像空間上でのレノルミズーション作用素の作用に還元する。
• 漸近的同値性および摂動技法を用いて、特異吸引的周期軌道の近傍における還元可能性喪失曲線の挙動を分析する。
• レノルミズーション作用素の微分のスペクトル解析を用いて、分岐区間のスケーリングを研究する。
• 分岐方向を主成分と摂動成分に分解することで、連続する分岐幅の比を推定する。
• 先行研究における数値的証拠を支持する、線形化レノルミズーション作用素のスペクトル的性質に関する予想に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準周期的に入力された写像において、吸引的周期軌道の周期が増加する際、還元可能性喪失分岐はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 準周期的設定において、連続する分岐区間の比はフェイゲンバック定数 δ に収束するか。もしそうならば、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 漸近的スケーリングは、準周期的結合関数のフーリエ展開にどの程度依存するか？
• RQ4 理論的枠組みは、強制写像の数値的分岐図に観察される普遍性と自己相似性を説明できるか？
• RQ5 線形化レノルミズーション作用素のスペクトル的性質が、分岐区間の収束速度を決定する役割を果たすか？

主な発見

• 連続する還元可能性喪失分岐区間の比は、フェイゲンバック定数 δ ≈ 4.669 に収束し、準周期的設定における普遍性を確認する。
• 分岐区間比の収束速度は、準周期的結合関数のフーリエ係数によって支配される。
• 分岐曲線の漸近的挙動は、線形化レノルミズーション作用素のスペクトル的性質、特に主要固有値によって決定される。
• 連続するレベルにおける分岐曲線の導関数の比は、漸近的に δ⁻¹ に等しくなり、O(ρⁿ) のオーダーの補正項を伴う。
• 結合関数の摂動は、分岐比に有界なずれを引き起こし、そのずれは摂動の大きさ η とスペクトルギャップによって制御される。
• 理論的予測は数値的観察と整合しており、準周期的に入力された写像に対する提案されたレノルミズーション枠組みの妥当性が裏付けられる。