[論文レビュー] Towards a Theory of Parameterized Streaming Algorithms

Rajesh Chitnis, Graham Cormode|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、FPS、SubPS、SemiPS、SupPS、BrutePSという空間計算量クラスの階層を導入することで、パラメータ付きストリーミングアルゴリズムの基礎的理論を確立する。この枠組みにおいて、Longest Path、Feedback Vertex Set、Treewidthといった重要なグラフ問題が分類され、FPT技術（二重次元性、反復圧縮など）を用いた新しいパラメータ付きストリーミングアルゴリズムが提示され、通信複雑性とカーネル化に基づく還元を用いてタイトな空間下界が証明され、多くの問題がパラメータ付き設定ですでにほぼ最適な空間を要することが示された。

ABSTRACT

Parameterized complexity attempts to give a more fine-grained analysis of the complexity of problems: instead of measuring the running time as a function of only the input size, we analyze the running time with respect to additional parameters. This approach has proven to be highly successful in delineating our understanding of NP-hard problems. Given this success with the TIME resource, it seems but natural to use this approach for dealing with the SPACE resource. First attempts in this direction have considered a few individual problems, with some success: Fafianie and Kratsch [MFCS'14] and Chitnis et al. [SODA'15] introduced the notions of streaming kernels and parameterized streaming algorithms respectively. For example, the latter shows how to refine the Omega(n^2) bit lower bound for finding a minimum Vertex Cover (VC) in the streaming setting by designing an algorithm for the parameterized k-VC problem which uses O(k^{2}log n) bits. In this paper, we initiate a systematic study of graph problems from the paradigm of parameterized streaming algorithms. We first define a natural hierarchy of space complexity classes of FPS, SubPS, SemiPS, SupPS and BrutePS, and then obtain tight classifications for several well-studied graph problems such as Longest Path, Feedback Vertex Set, Dominating Set, Girth, Treewidth, etc. into this hierarchy (see Figure 1 and Table 1). On the algorithmic side, our parameterized streaming algorithms use techniques from the FPT world such as bidimensionality, iterative compression and bounded-depth search trees. On the hardness side, we obtain lower bounds for the parameterized streaming complexity of various problems via novel reductions from problems in communication complexity. We also show a general (unconditional) lower bound for space complexity of parameterized streaming algorithms for a large class of problems inspired by the recently developed frameworks for showing (conditional) kernelization lower bounds. Parameterized algorithms and streaming algorithms are approaches to cope with TIME and SPACE intractability respectively. It is our hope that this work on parameterized streaming algorithms leads to two-way flow of ideas between these two previously separated areas of theoretical computer science.

研究の動機と目的

• 従来のストリーミングモデルを越えた空間計算量に焦点を当て、グラフ問題のためのパラメータ付きストリーミングアルゴリズムの体系的理論を構築すること。
• パラメータ付きストリーミングに特化した空間計算量クラスの階層（FPS、SubPS、SemiPS、SupPS、BrutePS）を定義し、特徴づけること。
• Longest Path、Feedback Vertex Set、Treewidthといった代表的なNP困難なグラフ問題を、これらの複雑性クラスに分類すること。
• 通信複雑性からの新たな還元およびカーネル化下界に基づく還元を用いて、パラメータ付きストリーミングアルゴリズムのタイトな空間下界を確立すること。
• 時間に注目するパラメータ付きアルゴリズムと空間に注目するストリーミングアルゴリズムの間のギャップを埋め、両分野の相互作用を促進すること。

提案手法

• パラメータ付きストリーミングにおける空間計算量クラスの形式的階層を提案し、f(k) · poly(log n) の空間で解ける問題を扱う核心クラスであるFPSを定義する。
• FPT技術（平面グラフにおける二重次元性、k-OCTのような問題における反復圧縮、カーネル化にインspiredされた刈り込みに用いる深さ制限付き探索木）を用いてパラメータ付きストリーミングアルゴリズムを設計する。
• 通信複雑性による還元を用いて下界を証明し、特にインデックス問題への還元によってd-SATやその他の問題の空間下界を確立する。
• FPT分野における条件付きカーネル化下界を適応し、パラメータ付きストリーミングアルゴリズムの無条件空間下界を導出する。
• d-SATのためのクラウーズ到着モデルを用いて、Ω((N/d)^d) ビットの空間が必要であることを示し、d ≥ 2 の場合にすべてのクラウーズを保存することは本質的に避けられないことを証明する。
• 指数時間仮説のストリーミング版を導入し、d ≥ 2 の場合にd-SATは変数の数に関して指数的空間を要することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータkと空間使用量の間の相互作用を捉える形式的複雑性階層を、パラメータ付きストリーミングアルゴリズムに対して定義できるか？
• RQ2 Longest Path、Feedback Vertex Set、Treewidthといった古典的グラフ問題のうち、どの問題がFPS、SubPS、またはBrutePSクラスに属するか？
• RQ3 反復圧縮や二重次元性といったFPT技術をストリーミング環境で効率的に用いて、パラメータ付きストリーミングアルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 パラメータ付きストリーミングアルゴリズムの本質的空間下界は何か？また、通信複雑性を用いてそれらを無条件に導出できるか？
• RQ5 FPTにおける条件付きカーネル化下界が、ストリーミングモデルにおける無条件空間下界にどの程度まで翻訳可能か？

主な発見

• k-Vertex Cover問題はO(k² log n) ビットの空間で解ける。これは、従来のストリーミングモデルにおけるΩ(n²)の下界を改善したものである。
• k-OCT問題（グラフがk辺削除二部グラフかどうかを判定する問題）には、1パスアルゴリズムに対して既知のΩ(n log n) ビットの下界があるが、k=1の場合ですら効率的な多パスアルゴリズムは知られていない。
• クラウーズ到着モデルにおけるd-SATに対して、任意のストリーミングアルゴリズムはΩ((N/d)^d) ビットの空間を要する。これは、d ≥ 2 の場合にすべてのクラウーズを保存することが本質的に避けられないことを示している。
• 本論文は、インデックス問題への還元を用いて、d-SAT（d ≥ 2）に対してΩ(n) ビットの無条件下界を証明した。これにより、サブ線形空間アルゴリズムは存在しないことが示された。
• フレームワークにより、Longest Path、Feedback Vertex Set、Girthといった問題がSupPSまたはBrutePSに属することを確立した。これは、パラメータ化されても、ほぼ完全なグラフの保存が必要であることを示している。
• 本研究は、FPTにおける条件付きカーネル化下界を、パラメータ付きストリーミングにおける無条件空間下界に変換できることを示し、不可能性の証明に新たなツールを提供した。