[論文レビュー] Towards an algorithmisation of the Dirac constraint formalism

Vladimir P. Gerdt, A. Khvedelidze+1 more|ArXiv.org|Nov 9, 2006

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可換代数におけるグレブナー基底を用いて、退化するラグランジュ系におけるディラック制約形式のアルゴリズム的枠組みを提示する。この手法により、一次的・二次的制約の自動計算、第一類・第二類への分類、ゲージ変換生成子の構成が可能となり、光円錐SU(2)ヤン・ミルズ力学系において1分間のMaple 10での計算で成功裏に実装された。

ABSTRACT

Central issues of the Dirac constraint formalism are discussed in relation to the algorithmic methods of commutative algebra based on the Groebner basis techniques. For a wide class of finite dimensional polynomial degenerate Lagrangian systems, we describe an algorithmic scheme of computation of the complete set of constraints, their separation into subsets of first and second class constraints as well as the construction of a generator of local symmetry transformations. The proposed scheme is exemplified by considering the so-called light-cone Yang-Mills mechanics with an SU(2) gauge structure group.

研究の動機と目的

• 退化する力学系におけるディラック制約形式のアルゴリズム的実装の不足に対処する。
• 多項式ラグランジュ系における制約の同定と分類を自動化する計算フレームワークを開発する。
• 第一類制約を有する系において、局所ゲージ対称性の生成子をアルゴリズム的に構成可能にする。
• 記号計算を用いたハミルトニアン還元の実用的で計算可能な手法を提供する。
• 非自明な例として、光円錐SU(2)ヤン・ミルズ力学系に本手法を適用し、完全な制約解析とゲージ対称性生成を達成する。

提案手法

• 位相空間変数における多項式イデアルにグレブナー基底技術を適用し、退化するヘッセ行列に起因する制約を計算・解析する。
• ポアンカーレ変換を用いて、運動量関係の消滅から一次的制約を導出し、多項式方程式として表現する。
• 制約の時間発展による反復的制約伝播を用いて二次的制約を生成する。
• ポアンカーレ括弧行列のランクと行列式を計算し、そのランク解析により制約を第一類・第二類に分類する。
• 第一類制約の構造とポアンカーレ括弧における閉包性を用いて、局所ゲージ変換の生成子を構成する。
• パラメトリックグレブナー基底を用いて、物理的パラメータ（例えば結合定数、質量）および時間に依存する乗数を含む全ハミルトニアンを扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換代数を用いて、退化する多項式ラグランジュ系における制約の完全集合をアルゴリズム的に計算可能か？
• RQ2 ポアンカーレ括弧行列といった代数的不変量を用いて、第一類・第二類制約を体系的に分離できるか？
• RQ3 局所ゲージ対称性の生成子を制約構造からアルゴリズム的に導出可能か？
• RQ4 本アルゴリズム的アプローチは、ゲージ対称性を有する非自明な物理的モデルにおいて計算的に実行可能か？
• RQ5 記号計算ツールは、物理的ラグランジュに不可欠なパラメトリック係数をどの程度処理できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、光円錐SU(2)ヤン・ミルズ力学系モデルにおいて、3つの第二類制約と2つのアーベル的第1類制約を含め、すべての制約を正しく計算・分類した。
• 局所ゲージ変換の生成子がアルゴリズム的に構成され、物理的ゲージ自由度（例えばオイラー角や回転変数）に対応することが示された。
• 元の制約付き系は、等価なコンformal mechanicsに相当する制約なしハミルトニアン系に還元され、還元ハミルトニアンは $ H = \frac{g^2}{2}\left(p_1^2 + \frac{p_{\chi_3}^2}{4q_1^2}\right) $ となる。
• SU(2)モデルの計算は、Maple 10の標準グレブナー基底パッケージを用いて約1分間で完了し、実用的実行可能性が示された。
• SU(3)などの高ランク群への拡張は可能であり、最近の研究から適切なパラメータ化が既に得られている。
• 既存の高度なグレブナー基底パッケージ（Gb, Fgb, GINV）は、パラメトリック係数の制限により不適切であり、現行ソフトウェアにおける主要なボトル neck を浮き彫りにした。