[論文レビュー] Towards an Autonomous Formalism for Quantum Mechanics

Tulsi Dass|ArXiv.org|Jul 18, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子力学を古典力学に依存せずに扱う自律的形式的枠組みを提案し、配置空間レベルで確率と力学を統合する。非可換な枠組みにおいて、シュレーディンガー波動関数上の有界でない作用素に基づき、一般化代数的シンプレクティック構造（GASS）を導入することで、量子力学を唯一の公理である量子シンプレクティック形式から導出し、プランク定数 ̂h→0 の極限において自然に古典力学を回復させるとともに、ユニタリ対称性を canonical 変換として保存する。

ABSTRACT

A formalism is presented in which quantum particle dynamics can be developed on its own rather than `quantization' of an underlying classical theory. It is proposed that the unification of probability and dynamics should be considered as the basic feature of quantum theory. Arguments are given to show that when such a unification is attempted at the configuration space level, the wave funtions of Schr$\ddot{o}$dinger theory appear as the natural candidates for the desired unification. A *-algebra $\mathcal{A}_{Q}$ of (not necessarily bounded) linear operators acting on an appropriate dense set of these wave functions appears as the arena for quantum kinematics. A simple generalization of an existing formalism in noncommutative geometry is employed to develop the notion of generalized algebraic symplectic structure (GASS) which can accomodate classical and quantum symplectic structures as special cases. Quantum kinematics and dynamics is developed in in the framework of a noncommutative Hamiltonian system employing an appropriate GASS based in $ \mathcal{A}_{Q}$. The Planck constant is introduced at only one place -- in the quantum symplectic form; its appearance at conventional places is then automatic. Unitary Wigner symmetries appear as canonical transformations in the noncommutative Hamiltonian system. A straightforward treatment of quantum - classical correspondence is given in terms of appropriate GASSes.

研究の動機と目的

• 古典力学を前提としない、量子力学の形式的枠組みを構築すること。
• 量子理論の基礎的原理として、配置空間レベルで確率と力学を統合すること。
• 古典力学と量子力学の両者を特殊な場合として含む、単一の一般化代数的シンプレクティック構造（GASS）としての数学的枠組みを構築すること。
• プランク定数 ̂h→0 の明確な極限によって、量子から古典への対応関係を透明に保証すること。
• プランク定数 ̂h を、従来の複数の点で仮定する代わりに、量子シンプレクティック形式から唯一の源として導出すること。

提案手法

• シュレーディンガー波動関数の稠密な定義域上の有界でない線形作用素の *-代数 ℓA_Q を、量子力学的運動論的舞台として導入する。
• 導来作用素のリー部分代数（Der ℓA）を許容することで、非可換幾何学を一般化し、一般化代数的シンプレクティック構造（GASS）を構築する。
• GASS枠組みを用いて非可換ハミルトニアン系を定義し、量子シンプレクティック形式から導かれるハミルトニアン作用素によって力学が支配されることを示す。
• 量子シンプレクティック形式を ̂h の唯一の源とし、その他の量子的特徴（例：交換関係）がすべてこれから生じることを示す。
• GASS形式的枠組みを通じて、ユニタリ・ウィグナー対称性が非可換ハミルトニアン系における canonical 変換として実現されることを確立する。
• GASS枠組みの ̂h→0 における極限において、モーリー括弧とウェイリ＝ウィグナー位相空間形式が自然に出現することを示し、量子古典対応を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学を古典力学を前提としない自律的理論として発展させることは可能か？
• RQ2 配置空間レベルで確率と力学を統合することで、量子理論の自然な基礎を構築することは可能か？
• RQ3 古典的および量子的シンプレクティック構造を特殊ケースとして同時に記述できる一般化された数学的構造は何か？
• RQ4 プランク定数 ̂h が複数の点で仮定されない形式的枠組みにおいて、どのようにして出現するか？
• RQ5 量子から古典への対応関係を、単一の統一的枠組み内での滑らかな極限として定式化できるか？

主な発見

• シュレーディンガー波動関数は、配置空間における確率と力学の統合的対象として自然に出現し、その基礎的役割が正当化される。
• 波動関数上の有界でない作用素の *-代数 ℓA_Q は、提案された枠組み内での量子力学の運動論的枠組みを提供する。
• 一般化代数的シンプレクティック構造（GASS）は、古典力学と量子力学の両方のシンプレクティック構造を統合し、古典力学は ̂h→0 の極限で回復される。
• 量子シンプレクティック形式は ̂h の唯一の源であり、すべての標準的量子的特徴（例：交換関係、モーリー括弧）がこれから生じる。
• ユニタリ・ウィグナー対称性は、非可換ハミルトニアン系において canonical 変換として実現され、GASS 構造を保存する。
• モーリー括弧と位相空間形式の量子力学は、GASSに基づく量子形式的枠組みの古典的極限として出現し、透明な量子古典対応関係が確認される。