[論文レビュー] Towards Differential Calculus in stratified groups

Valentino Magnani|ArXiv.org|Jan 11, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、分層群間の写像における内在的微分積分学を構築し、パンズの微分可能性を一般化する新しい概念「P-微分可能性」を導入する。P-微分可能な写像を特徴付ける非線形偏微分方程式系を確立し、部分リーマン幾何における平均値不等式、逆写像定理、陰関数定理といった重要な結果を証明する。また、内在的グラフの正則性やH型群における分解への応用も含む。

ABSTRACT

In this paper we establish the basic tools to develop the "Calculus" associated with group-valued continuously Pansu differentiable mappings. We develop the technical machinery on which all of our results rely. In particular, the linearization of addends appearing in the Baker-Campbell-Hausdorff formula is one of the major tools in several proofs. This allows us to characterize graded group-valued continuously Pansu differentiable mappings through a system of nonlinear first order PDEs, namely, the "contact equations". Through this approach we establish a quantitative estimate for the Pansu difference quotient. This key result is crucial to get the mean value inequality, the inverse mapping theorem, the rank theorem and the implicit function theorem for graded group-valued continuously Pansu differentiable mappings. All of these results represent the backbone to develop a reasonable "Calculus" in this context. On the other hand, these theorems rise the question of possible factorizations of stratified groups into inner semidirect products. In fact, we consider this algebraic issue to show that image-sets and level-sets of suitable continuously Pansu differentiable mappings are intrinsic graphs. These sets represent the intrinsic regular submanifolds modeled on a couple of fixed groups. Notice that the metric properties of these sets are completely different from the ones of classical submanifolds.

研究の動機と目的

• 分層群上の群値写像における厳密な内在的微分積分学を確立し、古典的微分積分学を非ユークリッド的設定に拡張すること。
• バーゲル＝キャンベル＝ハウスドルフの公式から導かれる1階非線形偏微分方程式系を用いて、P-微分可能な写像を特徴付けること。
• 分層群の文脈において、平均値不等式、逆写像定理、陰関数定理といった基本的結果を証明すること。
• $(\mathbb{G},\mathbb{M})$-正則集合を分類し、特に$\mathbb{H}_2^1$のようなH型群における接錐を研究すること。
• 分層群を補完的部分群に分解することを分析し、このような分解が存在するための条件を同定すること。

提案手法

• リー代数間のP微分を用いて定義される、パンズの微分可能性の一般化としてP-微分可能性を導入する。
• リー代数の階層への射影を用いて、P-微分可能な写像を特徴付ける再帰的非線形偏微分方程式系（式3）を導出する。
• バーゲル＝キャンベル＝ハウスドルフの公式における同次項の線形化を可能にする重要な技術的補題（補題3.3）を用いることで、P差分商の制御を可能にする。
• 定理4.4の定量的推定式（54）を用いて、リプシッツ写像のほとんど everywhere でのP-微分可能性を証明し、平均値不等式を確立する。
• 内在的グラフや$(\mathbb{G},\mathbb{M})$-正則集合への理論の応用において、P微分とh-微分可能性を用いて接錐を定義する。
• 分層群を補完的部分群に分解することを分析し、特にH型群において水平部分群、垂直部分群、正規部分群を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分層群間の写像に対して、その内在的幾何を尊重する微分積分学をどのように構築できるか？
• RQ2 階層付き群におけるP-微分可能な写像を特徴付ける偏微分方程式系は何か？ また、バーゲル＝キャンベル＝ハウスドルフの公式とどのように関係するか？
• RQ3 分層群の文脈において、陰関数定理が成り立つ条件は何か？
• RQ4 $(\mathbb{G},\mathbb{M})$-正則集合の構造的性質は何か？ また、その接錐はどのように記述されるか？
• RQ5 分層群において補完的部分群が存在するのはいつか？ また、一方が正規で他方が水平部分群であるための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、連続的P-微分可能な写像を、$m \times (\upsilon - 1)$ 個の非線形偏微分方程式系（式3）で特徴付けることを確立した。ここで$m$は第1層の次元、$\upsilon$は目標群のステップ数である。
• 連続的h-微分可能性と接触性（式2）が連続的P-微分可能性を意味することを証明し、P-微分可能性の実用的基準を提供する。
• 水平曲線のP差分商に対する重要な定量的推定式（54）により、パンズの「ほとんど everywhere でのP-微分可能性」の結果が、階層付き群値写像へと拡張可能であることが示され、コロナリー4.5が得られる。
• 平均値不等式が確立され、部分リーマン幾何におけるさらなる解析の基盤が構築される。
• 適切な正則性および全射性の条件下で、分層群間のP-微分可能な写像に対して逆写像定理を証明する。
• $\mathbb{H}_2^1$では、$(\mathbb{G},\mathbb{M})$-正則集合は次元1または2のものに限られ、これはレジェンドリアン部分多様体に対応する。その存在は、全射的P微分をもつ$C^1$写像によって特徴づけられる。