[論文レビュー] TOWARDS DOMAIN DECOMPOSITION FOR NONLOCAL PROBLEMS

Burak Aksoylu, Michael L. Parks|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2009

Numerical methods in engineering参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非局所的pラプラシアン作用素に対する部分構造法を導入し、伝達条件を伴う非局所的変分問題を定式化することで、剛性行列およびシュール補行列のスペクトル同等性と条件数の上限を証明した。非局所領域分割のための最初の理論的枠組みを確立し、数値実験により安定した条件数が得られることを確認した。

ABSTRACT

In this paper we present the first results on substructuring methods for nonlocal operators, specifically, an instance of the nonlocal p-Laplace operator. We present a nonlocal variational formulation of this operator, proving a nonlocal Poincaré inequality and upper bound to establish a spectral equivalence. We then introduce a nonlocal two-domain variational formulation utilizing nonlocal transmission conditions, and prove equivalence with the single-domain formulation. A nonlocal Schur complement is introduced. We establish condition number bounds for the nonlocal stiffness and Schur complement matrices. Supporting numerical experiments demonstrating the conditioning of the nonlocal single- and two-domain problems are presented.

研究の動機と目的

• 非局所作用素、特に非局所pラプラシアン作用素のための部分構造フレームワークを開発すること。非局所作用素には既存の領域分割手法が存在しない。
• 単一領域問題と同等となるように、伝達条件を用いた非局所的2領域変分定式化を確立すること。
• 非局所シュール補行列を導入し、その結果得られる剛性行列およびシュール補行列の条件数の上限を導出すること。
• スペクトル同等性およびPoincaré型不等式を用いて、非局所領域分割法の収束性と条件数の理論的裏付けを提供すること。

提案手法

• 核関数を伴う非局所積分作用素を用いた非局所的変分原理により、非局所pラプラシアン作用素を定式化する。
• 非局所Poincaré不等式と上界を証明し、非局所的および局所的定式化の間のスペクトル同等性を確立する。
• 界面における非局所的相互作用によってサブドメインを結合する伝達条件を備えた非局所的2領域定式化を導入する。
• 界面未知数を消去することで非局所シュール補行列を導出し、領域分割ソルバーの実現を可能にする。
• 非局所剛性行列および非局所シュール補行列の両方の条件数の上限を確立し、数値的安定性を保証する。
• 単一領域および2領域非局所問題の条件数に関する理論的結果を、数値実験により検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル同等性が保たれる非局所的2領域変分定式化（伝達条件を含む）を、単一領域非局所pラプラシアン問題と同等に構築できるか？
• RQ2 非局所領域分割フレームワークにおいて、非局所剛性行列およびシュール補行列の条件数の上限は何か？
• RQ3 非局所Poincaré不等式は、非局所部分構造法の安定性および収束性をどのように支援するか？
• RQ4 数値実験は、非局所領域分割の理論的条件数の上限をどの程度確認するか？

主な発見

• 伝達条件を備えた非局所的2領域変分定式化が、単一領域非局所pラプラシアン問題と同等であることが証明された。
• 非局所Poincaré不等式と上界が確立され、非局所的および局所的定式化の間のスペクトル同等性が可能となった。
• 非局所シュール補行列が非局所変分フレームワーク内での定義が可能であることが示された。
• 非局所剛性行列および非局所シュール補行列の両方の条件数の上限が導出され、反復ソルバーにおけるロバスト性が保証された。
• 数値実験により理論的条件数の上限が確認され、単一領域および2領域非局所問題の両方において安定的かつ良好に条件付けられた系が得られた。
• 本研究の結果は、非局所問題、特に非局所pラプラシアン作用素における領域分割の最初の理論的および数値的基盤を提供した。