[論文レビュー] Towards efficient algorithm deciding separability of distributed quantum states

Piotr Badziąg, Paweł Horodecki+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、concurrence行列から導かれる連立一次方程式の解法に帰着することで、任意の多粒子量子状態の分離可能性を決定する有限で基本的な再帰的アルゴリズムを提案する。一般状態においては、変数の数が約 $\binom{mn+D-1}{D}$ にまで削減され、$D \leq 4$ となるため、ブルートフォースな量化子除去に代わって線形代数的手法により効率的な分離可能性の検査が可能になる。

ABSTRACT

It is pointed out that separability problem for arbitrary multi-partite states can be fully solved by a finite size, elementary recursive algorithm. In the worse case scenario, the underlying numerical procedure, may grow doubly exponentially with the state's rank. Nevertheless, we argue that for generic states, analysis of concurrence matrices essentially reduces the task of solving separability problem in $m imes n$ dimensions to solving a set of linear equations in about $\binom{mn+D-1}{D}$ variables, where $D$ decreases with $mn$ and for large $mn$ it should not exceed 4. Moreover, the same method is also applicable to multipartite states where it is at least equally efficient.

研究の動機と目的

• 任意の多粒子量子状態の分離可能性を決定する有限で実行可能なアルゴリズムの開発。
• 状態のランクに対して二重指数関数的に増加する既存の量化子除去法の膨大な計算量を克服すること。
• concurrence行列の分析により分離可能性問題を連立一次方程式の解法に還元すること。
• 二粒子状態と同等の効率性を達成できるように、多粒子状態への拡張を図ること。
• NP困難な弱メンバーシップ定式化の実用的代替手段を提供するため、$D$ 値が管理可能な一般状態に焦点を当てる。

提案手法

• 状態の密度行列から導かれるconcurrence行列を用いて、もつれ構造を符号化する。
• 分離可能性問題を、潜在的な純粋状態分解をパrameter化する変数 $u_{ki}$ を含む一次方程式 (14) の解法に還元する。
• これらの方程式の解空間が、有効な等長写像が存在するかどうかを決定し、正規化係数 $\lambda_k$ に対する線形制約 (15) で確認する。
• 一般状態では、独立変数の数が $\binom{mn+D-1}{D}$ にまで削減され、$mn$ が大きい場合には $D$ は 4 で有界となる。
• 複数の正定値行列 $\hat{\mathcal{A}}_{jk}^{lm}$ の固有ベクトルを分析することで、二粒子状態のbiconcurrence行列に代えて、多粒子状態へ一般化する。
• 非可算集合に対する全探索を避けるために、有理数座標を持つ状態と有限次元の解多様体に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多粒子量子状態の分離可能性問題は、有限で基本的な再帰的アルゴリズムによって解けるか？
• RQ2 直接的な量化子除去ではなく、concurrence行列の分析によって、分離可能性テストの計算量をどの程度低減できるか？
• RQ3 一般状態 $m\times n$ において、分離可能な分解をパラメータ化するのに必要な有効な変数数 $D$ はどれくらいか？
• RQ4 多粒子状態において、この手法はどの程度スケーリング可能であり、二粒子状態と同等の効率性を維持できるか？
• RQ5 concurrence行列方程式の解空間を用いて、分離可能部ともつれ部に分解するLewenstein-Sanpera型分解を構築できるか？

主な発見

• 任意の多粒子状態の分離可能性問題は、有限で基本的な再帰的アルゴリズムによって決定可能である。
• 一般状態 $m\times n$ において、問題は $\binom{mn+D-1}{D}$ 個の変数を含む一次方程式系の解法に還元され、$mn$ が大きい場合には $D \leq 4$ となる。
• $3\times 3$次元では、一般状態に対して $D=1$ で十分であり、数値的証拠から $\Delta=2$ の場合 $D \approx \sqrt{r}$ であると示唆されており、計算量が管理可能であることが示唆される。
• この手法は多粒子状態へ一般化可能であり、一般状態の3 qubit状態では $D=5$ で十分であり、変数数は792、方程式数は1080にまで削減される。
• 等長写像条件 (15) は $|\lambda_k|^2$ に関する線形系であり、指数的探索を伴わず解けるため、分離可能性の効率的判断が可能となる。
• 解多様体が低次元となる一般状態に焦点を当てることで、弱メンバーシップ問題のNP困難性を回避する。