[論文レビュー] Towards extremely dense matter on the lattice

Keitaro Nagata, Shinji Motoki+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2012

High-Energy Particle Collisions Research参考文献 65被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、低温および有限のクォーク化学ポテンシャル $\mu$ におけるラティスQCDにおける符号問題を克服するため、フェルミオン行列式の次元削減式を提案する。時間的ラティスサイズ $N_t$ における固有値のスケーリングを分析することで、$T=0$ において $\mu < m_\pi/2$ の範囲でフェルミオン行列式が $\mu$-に依存しなくなることが示され、低密度および高密度極限において符号フリーなシミュレーションが可能となり、後者では正確な $Z_3$ 対称性が保たれる。

ABSTRACT

QCD is expected to have a rich phase structure. It is empirically known to be difficult to access low temperature and nonzero chemical potential $μ$ regions in lattice QCD simulations. We address this issue in a lattice QCD with the use of a dimensional reduction formula of the fermion determinant. We investigate spectral properties of a reduced matrix of the reduction formula. Lattice simulations with different lattice sizes show that the eigenvalues of the reduced matrix follow a scaling law for the temporal size $N_t$. The properties of the fermion determinant are examined using the reduction formula. We find that as a consequence of the $N_t$ scaling law, the fermion determinant becomes insensitive to $μ$ as $T$ decreases, and $μ$-independent at T=0 for $μ

研究の動機と目的

• 低温および有限クォーク化学ポテンシャル $\mu$ におけるラティスQCDシミュレーションにおける符号問題に対処すること。
• 符号フリーなシミュレーションを可能にするために、次元削減によるフェルミオン行列式の挙動を調査すること。
• 特に $\mu$-に依存しない行列式の挙動を、$T=0$ におけるQCDの低温度極限で探求すること。
• Roberge-Weiss転移およびリー＝ヤン零点の文脈において、$Z_3$ 対称性と正準分配関数の役割を分析すること。
• 削減式を用いて、正準分布および活性度展開の下で相転移を研究するための枠組みを確立すること。

提案手法

• フェルミオン行列式に次元削減式を適用し、時間的ラティスサイズ $N_t$ に従ってスケーリングする固有値を持つ低次元行列に変換する。
• $N_t$ スケーリング則を用いて、低次元行列のスペクトル的性質を分析し、行列式の低温度挙動を推論する。
• フェルミオン行列式の活性度展開を実装し、$\xi = e^{\mu/T}$ のべき乗における係数 $c_n$ の和として表現することで、正準形式を導入する。
• 任意精度算術（8進数表現）を用いた分割統治アルゴリズムを導入し、大きな $c_n$ 係数を計算することで、二重精度のオーバーフローを回避する。
• Roberge-Weiss変換を適用し、ポリコフ輪の平面における $R_1$、$R_2$、$R_3$ セクターにわたる $Z_3$ 対称性および分配関数成分を研究する。
• 正準分配関数およびリー＝ヤン零点解析を用いて、相転移およびその温度と $\mu$ 依存性を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラティスQCDにおける低温および有限 $\mu$ におけるフェルミオン行列式の挙動はいかなるものか。符号問題は軽減可能か。
• RQ2 低 $T$ におけるフェルミオン行列式の $\mu$-依存性を決定づける $N_t$ スケーリング則の役割は何か。
• RQ3 $T=0$ において $\mu < m_\pi/2$ の範囲でフェルミオン行列式が $\mu$-に依存しなくなることは可能か。その背後にある理由は何か。
• RQ4 削減式が、QCDの低密度および高密度領域における符号フリーなシミュレーションをどのように可能にするか。
• RQ5 正準分布、リー＝ヤン零点、および $\mu$-誘発相転移との関連は何か。

主な発見

• 低次元行列の固有値は $N_t$ に従ってスケーリングし、$T \to 0$ の極限への信頼性の高い外挿が可能になる。
• 低 $T$ においてフェルミオン行列式は $\mu$ にほとんど依存せず、$T=0$ において $\mu < m_\pi/2$ の範囲で正確に $\mu$-に依存しなくなる。これはシルバー・ブレーズ問題の解決である。
• 高密度極限において、QCDは時間的クォーク相互作用が存在しない空間的クォーク相互作用と標準のヤン・ミルズグルーオンのみを含む理論に還元され、正確な $Z_3$ 対称性が保たれる。
• 時間的クォーク相互作用が存在しないため、低密度および高密度極限の両方で分配関数は符号フリーかつ $Z_3$-不変になる。
• 正準分布およびリー＝ヤン零点の軌跡は、$\mu$-誘発相転移の有無を示す特徴的な温度依存性を示す。
• 活性度係数 $c_n$ は、8進数浮動小数点表現を用いた分割統治アルゴリズムにより計算され、$10^{900}$ に達するような極めて大きな値を扱える。