[論文レビュー] Towards Finding the Critical Value for Kalman Filtering with Intermittent Observations

Yilin Mo, Bruno Sinopoli|arXiv (Cornell University)|May 14, 2010

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 14被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、離散時間線形ガウス系における間欠的観測付きカルマンフィルタリングの正確な臨界到着確率 $p_c$ を計算し、システム行列 $A$ および $C$ に対して最小限の条件下で $p_c = 1 - \lambda^{-2q/(q-1)}$ を証明する。これは、Sinopoliら[1]が導出した下界が、$C$ が正則でない場合を含む広範なクラスのシステムにおいてもタイトであることを示しており、ネットワーキング制御システム分野における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In [1], Sinopoli et al. analyze the problem of optimal estimation for linear Gaussian systems where packets containing observations are dropped according to an i.i.d. Bernoulli process, modeling a memoryless erasure channel. In this case the authors show that the Kalman Filter is still the optimal estimator, although boundedness of the error depends directly upon the channel arrival probability, p. In particular they also prove the existence of a critical value, pc, for such probability, below which the Kalman filter will diverge. The authors are not able to compute the actual value of this critical probability for general linear systems, but provide upper and lower bounds. They are able to show that for special cases, i.e. C invertible, such critical value coincides with the lower bound. This paper computes the value of the critical arrival probability, under minimally restrictive conditions on the matrices A and C.

研究の動機と目的

• 間欠的観測下でのカルマンフィルタリングにおける正確な臨界到着確率 $p_c$ を計算するという未解決問題を解決すること。
• 特に $C$ が正則でない場合に、$p_c$ の上界および下界しか得られなかった先行研究を拡張すること。
• $C$ が正則でないような特別な場合を除き、システム行列 $A$ および $C$ に対して最小限の制約条件下で $p_c$ を特徴付けること。
• ベルヌーイ型パケット損失下でのカルマンフィルタの誤差共分散の安定性を分析し、有界性の閾値を同定すること。
• マルコフ連鎖型および高次モーメントの有界性に一般化可能なフレームワークを提供し、ネットワーク制御プロトコル設計に応用可能性を示すこと。

提案手法

• システムの状態遷移行列のスペクトル解析と $A$ の固有値を用いて、臨界確率 $p_c$ を導出する。
• 密度がゼロから離れたコサイン項を持つインデックスの集合 $\mathbb{T}_{\varepsilon,\infty} = \{ l \in \mathbb{N} \mid 2 - z^l - z^{-l} > \varepsilon \}$ を導入し、その解析を行う。
• 比 $i / |\mathbb{T}_{\varepsilon,i}|$ の漸近的解析を適用して、有効な時間インデックスの成長率を推定し、$\limsup_{|\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| \to \infty} i / |\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| = 1$ を得る。
• $\varepsilon \to 0^+$ のとき $\limsup_{|\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| \to \infty} \lambda^{-2i / |\mathbb{T}_{\varepsilon,i}|} \to \lambda^{-2}$ となる条件を用いて、臨界値を導出する。
• 臨界確率 $p_c = 1 - \lambda^{-2q/(q-1)}$ が、一般条件下で Sinopoli ら[1] の下界と一致することを証明する。
• スペクトル半径および単位円上の無理数回転の性質を用いた定理および補題の系列を用いて結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般線形系における間欠的観測付きカルマンフィルタリングの正確な臨界到着確率 $p_c$ の値は何か？
• RQ2 Sinopoli ら[1] が導出した $p_c$ の下界は、$C$ が正則でないシステムに対しても正確な値として成立するか？
• RQ3 $p_c$ の下界がタイトとなる条件は何か。また、その下界が成立しなくなる条件は何か？
• RQ4 システム行列 $A$ および観測行列 $C$ の構造は、臨界確率にどのように影響を与えるか？
• RQ5 スペクトル的およびエルゴード的性質を用いて、カルマンフィルタの誤差共分散の有界性を特徴づけることは可能か？

主な発見

• 臨界到着確率は正確に $p_c = 1 - \lambda^{-2q/(q-1)}$ であり、ここで $\lambda$ はシステム行列 $A$ のスペクトル半径である。
• Sinopoli ら[1] が導出した $p_c$ の下界は、$C$ が正則でない場合を含む広範なクラスのシステムにおいてもタイトである。
• $A$ の固有値の絶対値がすべて異なる場合、臨界確率は下界と一致する。
• 証明により $\limsup_{|\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| \to \infty} i / |\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| = 1$ が示され、これにより $p_c \leq 1 - \lambda^{-2}$ が得られ、下界と一致する。
• 臨界定常な退化系に対しても結果は成り立ち、これは直接的に定理8を適用することで処理される。
• 解析はマルコフ連鎖型パケット損失モデルおよび誤差共分散行列の高次モーメントに一般化可能である。