[論文レビュー] Towards Finite Quantum Field Theory in Non-Commutative Geometry

Harald Grosse, C. Klimčı́k+1 more|ArXiv.org|May 29, 1995

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、SU(2)の有限次元ユニタリ表現による関数代数の切断を用いて、非可換（ファジー）球面上の自己相互作用スカラー場に対する有限量子場理論を、行列幾何と経路積分量力学により提案する。球面上の関数代数をSU(2)の有限次元ユニタリ表現によって切断することにより、有限個の場モードによる非摂動的紫外正則化が達成され、追加の補正項を必要とせず、すべてのフェ Feynman 図が有限になる。

ABSTRACT

We describe the self-interacting scalar field on the truncated sphere and we perform the quantization using the functional (path) integral approach. The theory posseses a full symmetry with respect to the isometries of the sphere. We explicitely show that the model is finite and the UV-regularization automatically takes place.

研究の動機と目的

• 非可換球面上に、摂動的発散を伴わない紫外有限な量子場理論を構築すること。
• 非可換幾何が有限次元行列代数を通じて非摂動的紫外カットオフを自然に与えることの証明。
• 量子モデルにおいて球面の完全な回転（等長）対称性を保存すること。
• トードプール図における標準的発散が、有限モード構造のおかげで消えることの示唆。
• スカラー場に加え、スピン場やゲージ場を非可換多様体上に同様の有限性を持つように拡張するための基盤を構築すること。

提案手法

• 非可換球面を、$[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\lambda \varepsilon_{ijk} \hat{x}_k$ および $\sum \hat{x}_i^2 = \rho^2$ を満たす演算子 $\hat{x}_i$ によって生成される有限次元代数 ${\cal A}_N$ として定義する。
• フォック空間において、$N$ボソン状態に制限された2組の生成・消滅演算子を用いたウィグナー・ジョルダン構成により、この代数を実現する。
• 非可換積分を、$I_N(F) = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N F(\xi_k)$ で定義される離散トレースにより実装する。ここで $\xi_k = \sqrt{N/(N+2)}(2k/N - 1)$ である。
• 非可換微分と積分を用いて、回転対称性を保つ場の作用を構築する。
• 有限次元ヒルベルト空間を用いた経路積分量力学により、すべての関数的積分が適切に定義されることを保証する。
• 場の展開および頂点計算のための基底関数として、切断された球面調和関数および非可換ルジャンドル多項式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相互作用スカラー場が非可換球面上に、紫外発散を排除する方法で量力学的に扱えるか。
• RQ2 非可換球面の構造が、恣意的な正則化を導入することなく、自然に有限な紫外カットオフを生じるか。
• RQ3 この量子モデルにおいて、球面の完全な回転対称性はどのように保たれるか。
• RQ4 この有限理論におけるトードプール図の振る舞いは、通常の可換の場合と比べてどうなるか。
• RQ5 この枠組みを、同様の有限性を持つスピン場やゲージ場に一般化できるか。

主な発見

• 場モードの数が有限であり、$ (N+1)^2 $ で上限が定められているため、モデルは紫外有限であり、すべての経路積分が適切に定義される。
• モードスペクトルの切断のおかげで、トードプール図が有限である。これは、標準的量子場理論における発散的結果とは対照的である。
• 非可換積分 $ I_N $ は $ N+1 $ 個の点における離散和として定義され、有限次元正則化を保証する。
• カシミール作用素 $ C = \rho^2 \lambda^{-2} $ は値 $ \frac{N}{2}(\frac{N}{2} + 1) $ を取り、$ \lambda $ と $ N $ を結びつける。これにより、非可換性のスケールが固定される。
• 非可換性のおかげで、式 (57) および (58) に見られるように、作用における頂点構造が非自明に変化し、有限性に寄与する。
• 極限 $ N \to \infty $ において、モデルは通常の可換球面 $ S^2 $ 上の標準的場理論に還元され、通常の発散が再び現れる。