[論文レビュー] Towards lattice-regularized Quantum Gravity

Dmitri Diakonov|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、フレーム場を複合フェルミオン場で表現する方法を用いて、グラスマン変数に関するベレジン積分を活用することで、ユークリッド量子重力における符号問題を解決する、ラティス正則化量子重力フレームワークを提案する。この手法は局所ローレンツ不変性を保ち、連続極限において微分同型不変性を回復し、大規模な非摂動的ゆらぎに対しても well-defined な経路積分を提供する。また、16次元における標準模型との自然な統合を示唆する。

ABSTRACT

Using the Cartan formulation of General Relativity, we construct a well defined lattice-regularized theory capable to describe large non-perturbative quantum fluctuations of the frame field (or the metric) and of the spin connection. To that end we need to present the tetrad by a composite field built as a bilinear combination of fermion fields. The theory is explicitly invariant under local Lorentz transformations and, in the continuum limit, under general covariant transformations, or diffeomorphisms. Being well defined for large and fast varying fields at the ultraviolet cutoff, the theory simultaneously has chances of reproducing standard General Relativity in the infrared continuum limit. The present regularization of quantum gravity opens new possibilities of its unification with the Standard Model.

研究の動機と目的

• 一般共変性に起因する作用の符号不定性が経路積分を well-defined にできないという、量子重力における符号問題を解消すること。
• フレーム場およびスピン接続の大きな非摂動的ゆらぎに対しても、依然として well-defined なままであるラティス正則化理論を構築すること。
• フレーム場を16次元時空におけるスピンルーチェンの双線形として埋め込むことで、量子重力と標準模型を統合すること。
• ラティス正則化によって局所ローレンツ不変性を正確に保ち、連続極限で一般共変性（微分同型不変性）を回復すること。
• 構成されたフレーム場に用いられるフェルミオン自由度が、標準模型の4世代に一致する物質フェルミオンに対応する可能性を検討すること。

提案手法

• 反交換スピンルーチェン場の双線形結合から構成される複合演算子としてテトラッド（フレーム場）を表現し、局所ローレンツ対称性における正しい変換性を保証する。
• 一般相対性理論のカルタン形式を用い、独立なフレーム場 $e^A_\mu$ とスピン接続 $\omega^{AB}_\mu$ を導入することで、ローレンツ群のゲージ理論として重力を記述する。
• ユークリッド時空におけるラティス正則化を導入し、有限で well-behaved な経路積分を定義する。フェルミオンのベレジン積分により、作用の符号に関係なく収束性が保証される。
• トポロジカル不変量 $\epsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} \epsilon_{ABCD} e^A_\kappa e^B_\lambda e^C_\mu e^D_\nu$ と曲率項 $\mathcal{F}^{AB}_{\kappa\lambda} e^C_\mu e^D_\nu$ を用いて作用を構成し、ゲージ不変性を維持する。
• ディラック＝フォック＝ヴァイエル作用における共変微分への結合により、複合フレーム場が局所ローレンツ変換に対して均一に変換されることを保証する。
• 16次元の状況は特権的である：SO(16) の2つの128次元スピンルーチェン表現は、正確に4世代分の標準模型フェルミオンの自由度を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に大きな非摂動的ゆらぎに対しても、well-defined なままであるラティス正則化量子重力理論を構築可能か？
• RQ2 フレーム場を複合フェルミオン的演算子で置き換えることで、一般共変作用に内在する符号問題が解消されるか？
• RQ3 このような理論が、局所ローレンツ不変性を保ち、連続極限で微分同型不変性を回復できるか？
• RQ4 フェルミオン自由度が標準模型の4世代を自然に収容できる次元は存在するか？
• RQ5 SO(16)対称性の自発的破れが、ローレンツ群および標準模型ゲージ群に至る過程でヒッグス機構が動的に出現する可能性はあるか？

主な発見

• 複合フェルミオン的フレーム場を用いたラティス正則化理論は、グラスマン変数に関するベレジン積分が有限かつ符号に依存しないため、well-defined なユークリッド経路積分を提供する。
• フレーム場の複合構造のおかげで、理論は局所ローレンツ不変性を正確に維持しており、ローレンツ変換に対して均一に変換される。
• 連続極限において、理論は一般共変性（微分同型不変性）を回復し、一貫性のある量子重力フレームワークを実現する。
• 16次元の状況は特権的である：SO(16) の2つの128次元スピンルーチェン表現は、正確に256の自由度を有し、4世代分の標準模型フェルミオンに一致する。
• 経路積分から生じる閉じたループ系は、拡張されたトポロジカル励起状態の双対的記述を示唆し、長距離相関に関連する可能性がある。
• 本モデルは、SO(16) 対称性が SO(4) × SU(3) × SU(2) × U(1) に破れる古典的解を許容しており、標準模型ゲージ群の幾何的起源を示唆する。