[論文レビュー] Towards Massively Parallel Computations in Algebraic Geometry

Janko Boehm, Wolfram Decker+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、GPI-Space（ペトリネットに基づく）を用いて計算と調整を分離することで、代数幾何における大規模並列計算のための新規フレームワークを提示する。この手法により、複雑な一般型の曲面に対して、並列で最適なチャート被覆を選択することで、逐次的手法と比較してメモリ使用量と計算時間を顕著に削減し、超線形の高速化を達成した。

ABSTRACT

Introducing parallelism and exploring its use is still a fundamental challenge for the computer algebra community. In high performance numerical simulation, on the other hand, transparent environments for distributed computing which follow the principle of separating coordination and computation have been a success story for many years. In this paper, we explore the potential of using this principle in the context of computer algebra. More precisely, we combine two well-established systems: The mathematics we are interested in is implemented in the computer algebra system Singular, whose focus is on polynomial computations, while the coordination is left to the workflow management system GPI-Space, which relies on Petri nets as its mathematical modeling language, and has been successfully used for coordinating the parallel execution (autoparallelization) of academic codes as well as for commercial software in application areas such as seismic data processing. The result of our efforts is a major step towards a framework for massively parallel computations in the application areas of Singular, specifically in commutative algebra and algebraic geometry. As a first test case for this framework, we have modeled and implemented a hybrid smoothness test for algebraic varieties which combines ideas from Hironaka's celebrated desingularization proof with the classical Jacobian criterion. Applying our implementation to two examples originating from current research in algebraic geometry, one of which cannot be handled by other means, we illustrate the behavior of the smoothness test within our framework, and investigate how the computations scale up to 256 cores.

研究の動機と目的

• 逐次処理の限界を超えて代数幾何における記号計算のスケーリングを実現する挑戦に応えること。
• コアコードの変更なしに、コンピュータ代数システムにおける透明で侵襲的でない並列処理を可能にすること。
• とりわけペトリネットによるワークフロー調整を活用した分散コンピューティングモデルの強みを、記号数学に活かすこと。
• ヒロナカの特異点解消法とヤコビアン基準を組み合わせたハイブリッド滑らかさテストの開発と評価。
• 本フレームワークが実世界の研究問題（従来のツールでは取り扱えないものも含む）において実現可能で、性能上の利点を示すこと。

提案手法

• 分散環境において、複数の独立したSingularコンピュータ代数システムのインスタンスを調整するためにワークフロー管理システムGPI-Spaceを用いる。
• データ並列性とタスク並列性を実現するため、並列計算をペトリネットとしてモデル化し、自動的な負荷分散と障害耐性を実現する。
• ヒロナカの特異点解消戦略と古典的ヤコビアン基準を併用するハイブリッド滑らかさテストを実装する。
• 最大256コアにわたる大規模並列処理で、各コアが環境射影空間の異なるアフィンチャートを別々に評価する。
• すべての可能な被覆を並列に探索することで、滑らかさ証明に最も効率的なチャートの組み合わせを動的に選択する。
• 実際のサブステップの実行時間に基づく合成シミュレーションを用いて、スケーリング行動を予測・検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 侵襲的でない、調整に基づくアプローチが、代数幾何における記号計算のスケーラブルな並列処理を可能にするか？
• RQ2 ハイブリッド滑らかさテストは、複雑な代数的多様体において、メモリ効率と実行時間の点で逐次的手法をどの程度上回るか？
• RQ3 チャートベースの並列アルゴリズムによる滑らかさテストの文脈で、超線形の高速化はどのような要因によって生じるか？
• RQ4 多様体の幾何的構造は、並列アルゴリズムの性能と負荷分散にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ペトリネットに基づくワークフローシステムは、記号計算において自動的に最適な計算経路を発見できるか？

主な発見

• ハイブリッド滑らかさテストは、標準的な射影ヤコビアン基準を用いた処理で384 GBのRAM制限を超える数値的Godeaux曲面の滑らかさを正常に計算した。
• 降下処理後の個々のヤコビアン計算では、最大で3.1 GBのRAMしか使用しなかったことから、顕著なメモリ効率が実証された。
• 256コアで実行した場合、実行時間は2,460秒にまで短縮され、ハードウェア帯域幅の向上とアルゴリズム的負荷分散の両方のおかげで超線形の高速化が達成された。
• 16コアでは53,000秒、256コアでは2,460秒で完了し、速度向上係数は21倍以上に達した。
• アルゴリズムの挙動のシミュレーション結果は、実際の性能と非常に良く一致しており、モデルの予測能力が検証された。
• 128コアを超えると、残りのサブチャート数（115個）がスケーラビリティの上限として機能し、さらなる顕著な高速化は観察されなかった。理論的限界が確認された。