[論文レビュー] Towards non-reductive geometric invariant theory

Brent Doran, Frances Kirwan|ArXiv.org|Mar 5, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかで射影的多様体上の単型群作用に対して、非再帰的一般化された幾何学的不変体理論（GIT）を展開し、安定集合と半安定集合を定義し、再帰的GITによる射影的完成を許す自然な「包み込み商」$X/\!/H$を構成する。主な貢献は、不変環が有限生成でない場合でさえも、特にPoincaré多項式を用いてこのような商のコホモロジーを計算する手法を提供することにある。

ABSTRACT

We study linear actions of algebraic groups on smooth projective varieties X. A guiding goal for us is to understand the cohomology of "quotients" under such actions, by generalizing (from reductive to non-reductive group actions) existing methods involving Mumford's geometric invariant theory (GIT). We concentrate on actions of unipotent groups H, and define sets of stable points X^s and semistable points X^{ss}, often explicitly computable via the methods of reductive GIT, which reduce to the standard definitions due to Mumford in the case of reductive actions. We compare these with definitions in the literature. Results include (1) a geometric criterion determining whether or not a ring of invariants is finitely generated, (2) the existence of a geometric quotient of X^s, and (3) the existence of a canonical "enveloping quotient" variety of X^{ss}, denoted X//H, which (4) has a projective completion given by a reductive GIT quotient and (5) is itself projective and isomorphic to Proj(k[X]^H) when k[X]^H is finitely generated.

研究の動機と目的

• ムーマードの幾何学的不変体理論を再帰的群に限らない非再帰的作用へ拡張すること、特に単型群に対して。
• 非再帰的作用に対して古典的GITの概念を一般化する安定および半安定部分集合 $X^s$ と $X^{ss}$ を定義すること。
• 射影的でかつ再帰的GITによる完成を許す自然な「包み込み商」$X/\!/H$ を構成すること。
• 不変環 $k[X]^H$ が有限生成でない場合でさえも、特にPoincaré多項式を用いて商のコホモロジーを計算可能にする。
• 非再帰的対称性の下でのモジュライ空間と不変量を体系的に研究するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 非再帰的群に対しても適用可能な再帰的GIT基準の一般化により、安定および半安定点 $X^s$ と $X^{ss}$ を定義する。
• 再帰的包み込みの手法を用いる：群 $G \times_H X$ を介して非再帰的作用を再帰的群作用に埋め込み、古典的再帰的GITの適用を可能にする。
• 包み込み商 $X/\!/H$ を、$X$ の $G$-等変射影的完成 $Y$ と、単型群 $H$ を含む再帰的群 $G$ を用いて $Y/\!/G$ として構成する。
• 包み込み商 $X/\!/H$ に特異点がある場合の交差コホモロジーを計算するために、分解定理と吹き上げ技術を適用する。
• 特に $n$ 個の無順序点が $\mathbb{P}^1$ 上のケースについて、Poincaré多項式を用いてベッチ数とコホモロジー構造を計算する。奇数 $n$ と偶数 $n$ を区別する。
• 安定集合 $X^s$ が射影空間にリトラクトでき、$H$ がコンパクトであることに着目し、幾何的商 $X^s/H$ のコホモロジーを直接計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非再帰的群作用、特に単型群に対して、不変環の有限生成性と商の存在といった重要な性質を保ちつつ、幾何学的不変体理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 非再帰的作用の下で不変環 $k[X]^H$ が有限生成であることを保証する条件は何か。
• RQ3 群が非再帰的である場合に、安定集合 $X^s$ の幾何的商をどのように構成できるか。
• RQ4 $k[X]^H$ が有限生成でない場合の商 $X/\!/H$ の構造は何か。また、そのコホモロジーはどのように計算できるか。
• RQ5 $n$ 個の無順序点が $\mathbb{P}^1$ 上のケースにおいて、奇数 $n$ と偶数 $n$ の間で商のコホモロジーはどのように異なるか。

主な発見

• 奇数 $n$ の場合、包み込み商 $X/\!/H$ のPoincaré多項式は $P_t(X/\!/H) = 1 + t^2 + 2t^4 + 2t^6 + \cdots + \left[1 + \frac{\min(j,n-1-j)}{2}\right]t^{2j} + \cdots + t^{2n-2}$ であり、ベッチ数は $1 + \min(j,n-1-j)/2$ の整数部分に等しい。
• 奇数 $n$ の場合、幾何的商 $X^s/H$ のPoincaré多項式は $P_t(X^s/H) = 1 + t^2 + \cdots + t^{n-1}$ であり、これは $\mathbb{P}^{(n-1)/2}$ への変形リトラクトを反映している。
• 偶数 $n$ の場合、包み込み商 $X/\!/H$ はオルビフォールドではない。交差コホモロジーは部分的特異点解消 $\widetilde{X/\!/H}$ を用いて計算され、$IP_t(X/\!/H) = 1 + t^2 + 2t^4 + \cdots + \left[(n+2)/4\right]t^{n-2} + \cdots + t^{2n-2}$ を得る。
• 部分的特異点解消 $\widetilde{X/\!/H}$ の通常のベッチ数は $P_t(\widetilde{X/\!/H}) = 1 + 2t^2 + 3t^4 + \cdots + (n/2)t^{n-2} + (n/2)t^n + \cdots + t^{2n-2}$ である。
• 偶数 $n$ の場合、$X^s/H$ のコホモロジーは $P_t(X^s/H) = 1 + t^2 + \cdots + t^{n-2}$ であり、これは $\mathbb{P}^{(n-2)/2}$ へのリトラクトと整合的である。
• 特に $n$ が奇数の場合、$H^*(X/\!/H;\mathbb{Q})$ および $H^*(\widetilde{X/\!/H};\mathbb{Q})$ の環構造は [31, 32] の手法を用いて計算可能である。