[論文レビュー] Towards on-line Ohba's conjecture

Jakub Kozik, Piotr Micek+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、独立数が3以下であるグラフについて、オーバの予想のオンライン版を確認し、このようなグラフがその彩色数に等しいオンライン選択数を持つことを証明している。また、|V(G)| ≤ χ(G) + √χ(G) を満たすグラフについても、オンライン選択数が彩色数に等しいことを確立しており、完全多部グラフ K_{3⋆k} についても境界を提供している。

ABSTRACT

The on-line choice number of a graph is a variation of the choice number defined through a two person game. It is at least as large as the choice number for all graphs and is strictly larger for some graphs. In particular, there are graphs $G$ with $|V(G)| = 2 χ(G)+1$ whose on-line choice numbers are larger than their chromatic numbers, in contrast to a recently confirmed conjecture of Ohba that every graph $G$ with $|V(G)| \le 2 χ(G)+1$ has its choice number equal its chromatic number. Nevertheless, an on-line version of Ohba conjecture was proposed in [P. Huang, T. Wong and X. Zhu, Application of polynomial method to on-line colouring of graphs, European J. Combin., 2011]: Every graph $G$ with $|V(G)| \le 2 χ(G)$ has its on-line choice number equal its chromatic number. This paper confirms the on-line version of Ohba conjecture for graphs $G$ with independence number at most 3. We also study list colouring of complete multipartite graphs $K_{3\star k}$ with all parts of size 3. We prove that the on-line choice number of $K_{3 \star k}$ is at most $3/2k$, and present an alternate proof of Kierstead's result that its choice number is $\lceil (4k-1)/3 ceil$. For general graphs $G$, we prove that if $|V(G)| \le χ(G)+\sqrt{χ(G)}$ then its on-line choice number equals chromatic number.

研究の動機と目的

• 独立数が3以下のグラフについて、オーバの予想のオンライン版を確認すること。
• オンライン選択数が彩色数に等しくなる十分条件を確立すること。
• サイズ3の部品をもつ完全多部グラフ K_{3⋆k} のオンライン選択数を分析すること。
• Kierstead が K_{3⋆k} の選択数について得た結果の別証明を提示すること。
• 既知の選択数の上界を、特にスパarsely なグラフや有界次数のグラフに対して、オンライン設定へと拡張すること。

提案手法

• リストラーとペインターの間で展開されるゲーム理論的枠組み：オンライン (G,f)-リスト彩色ゲームを用いる。
• 反例グラフ G とリスト割り当て f について、頂点数に関する帰納法を用い、最小性を仮定する。
• リストサイズの分布に基づくケース解析：サイズ1の部品が k₁ 個、サイズ3の部品が k₃ 個、サイズ2の部品が s 個。
• 構造的制約を適用：サイズ3の部品に属する頂点 v については f(v) ≥ k₃ + k₁、サイズ1の部品に属する頂点 v については f(v) ≥ k₃。
• リストのマージと色の削除技術を用いて、グラフを縮小しながらリストサイズの条件を保持する。
• 縮小されたグラフ G′ が、G と同じ不等式 (1)–(3.3) を満たすことを確認し、帰納的閉包を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立数が3以下のすべてのグラフ G について、オンライン・オーバの予想が成り立つ、すなわち、オンライン選択数がその彩色数に等しいか？
• RQ2 どのグラフ G について、オンライン選択数が彩色数に等しくなるか、特に |V(G)| ≤ χ(G) + √χ(G) の場合に？
• RQ3 サイズ3の部品が k 個ある完全3部グラフ K_{3⋆k} のオンライン選択数は何か？
• RQ4 Kierstead が K_{3⋆k} の選択数について得た結果を、オンラインリスト彩色技法を用いて再証明できるか？
• RQ5 標準的な選択数の上界が、同様の方法でオンライン選択数へと拡張できるか？

主な発見

• K_{3⋆k} のオンライン選択数は (3/2)k 以下であることが示され、このクラスのグラフに対するタイトな上界が得られた。
• 任意のグラフ G について、|V(G)| ≤ χ(G) + √χ(G) ならば、そのオンライン選択数は彩色数に等しい。
• 独立数が3以下のすべてのグラフについて、オーバの予想のオンライン版が成り立つ。
• Kierstead が K_{3⋆k} の選択数が ⌈(4k−1)/3⌉ であると示した結果について、別証明が与えられた。
• 本稿は、与えられたサイズおよび独立数の制約下で、オンライン選択数が彩色数によって有界であることを確認し、既知の結果をオンライン設定へと拡張した。