[論文レビュー] Towards practical generic conic optimization

Chris Coey, Lea Kapelevich+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文では、効率的な自己曲率バリアオракルを介して、エキゾチックなコーンをネイティブにサポートするJuliaにおける汎用的な放物型プライマル・デュアル内点ソルバー、Hypatiaを紹介する。Hypatiaを用いた自然な定式化の解法は、HypatiaやMOSEKを用いた拡張定式化の解法と比較して、6つのテスト問題において、実行時間、メモリ使用量、数値的安定性の面で優れていることを示している。

ABSTRACT

Many convex problems can be represented through conic extended formulations with auxiliary variables and constraints using only the small number of standard cones recognized by advanced conic solvers such as MOSEK 9. Such extended formulations are often significantly larger and more complex than equivalent conic natural formulations, which can use a much larger class of exotic cones. We define an exotic cone as a proper cone for which we can implement efficient logarithmically homogeneous self-concordant barrier oracles for the cone or its dual. Our goal is to establish whether a generic conic interior point method supporting natural formulations can outperform an advanced conic solver specialized for standard cones. We introduce Hypatia, a highly-configurable open-source conic primal-dual interior point solver with a generic interface for exotic cones. Hypatia is written in Julia and accessible through a native interface or the modeling language JuMP, and currently implements over two dozen predefined cones of interest. Using six example problems, we demonstrate significant advantages in terms of solve time, memory usage, and numerical robustness from solving natural formulations with Hypatia, compared to solving extended formulations with Hypatia or MOSEK.

研究の動機と目的

• エキゾチックなコーンをネイティブにサポートする汎用的な放物型内点法が、標準的なコーンのための特別な最適化ソルバーを上回るかを評価すること。
• 効率的なバリアオーケストラを介してエキゾチックなコーンをネイティブにサポートする、高設定可能なオープンソースの放物型最適化ソルバーを開発すること。
• 計算効率と数値的安定性の観点から、自然なコーン定式化と拡張定式化の利点を実証すること。
• JuliaとJuMPを介してエキゾチックなコーンのための柔軟でアクセスしやすいインターフェースを提供し、放物型最適化分野への広範な採用を促進すること。

提案手法

• エキゾチックなコーンのための汎用インターフェースを備えたJuliaにおけるプライマル・デュアル内点ソルバー、Hypatiaの設計と実装。
• 十数種類の定義済みエキゾチックなコーンおよびその双対について、効率的な対数的均一な自己曲率バリアオーケストラを実装。
• 使いやすさを考慮し、Julia APIによるネイティブなモデリングとJuMPモデリング言語への統合を両方サポート。
• 標準的なコーンを用いた拡張定式化を回避するため、エキゾチックなコーンを含む自然なコーン定式化を用いて問題を定式化。
• 実行時間、メモリ使用量、数値的安定性を指標として、6つのテスト問題におけるパフォーマンスをベンチマーク。
• Hypatiaが自然な定式化で示すパフォーマンスを、HypatiaとMOSEKが同様の拡張定式化で示すパフォーマンスと比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エキゾチックなコーンをネイティブにサポートする汎用的な放物型内点法が、標準的なコーンのための特別なソルバーを上回ることができるか？
• RQ2 エキゾチックなコーンを含む自然なコーン定式化を用いることで、標準コーンを用いた拡張定式化と比較して、計算パフォーマンスが向上するか？
• RQ3 エキゾチックなコーンは、放物型最適化におけるメモリ効率と数値的安定性をどの程度向上させるか？
• RQ4 Hypatiaのパフォーマンスは、MOSEK 9と比較して、異なる定式化で同等の問題を解く際にどのように異なるか？

主な発見

• Hypatiaは、エキゾチックなコーンを含む自然な定式化を用いて解く際、標準コーンを用いた拡張定式化と比較して、実行時間を顕著に短縮する。
• Hypatiaを用いた自然な定式化では、HypatiaやMOSEKを用いた拡張定式化と比較して、メモリ使用量が著しく低減される。
• Hypatiaを用いた自然な定式化では、収束失敗の回数が少なく、条件数が良好であるという証拠から、数値的安定性が向上している。
• Hypatiaが自然な定式化で示すパフォーマンスの優位性は、6つの多様なテスト問題にわたって一貫しており、広範な適用可能性が示されている。