[論文レビュー] Towards Quantum Information Theory in Space and Time

И. В. Волович|ArXiv.org|Mar 6, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、qubit の代わりに、質量 $m$ とスピン $s$ でラベル付けされた、無限次元ヒルベルト空間上で非自明に作用する Poincaré群の既約表現として定義される基本的量子系（素性量子系）を用いる相対論的量子情報理論を提案する。この理論は、局所的観測において、相対論的量子場理論におけるもつれ状態が大規模な空間的分離距離において漸近的に可分解（もつれが解けた状態）になることを示し、ベルの不等式違反が相対性理論に整合するのは短距離でのみであることを示唆する。さらに、一般化された確率的場を用いた量子相関関数の古典的確率的表現を導出する。

ABSTRACT

Modern quantum information theory deals with an idealized situation when the spacetime dependence of quantum phenomena is neglected. However the transmission and processing of (quantum) information is a physical process in spacetime. Therefore such basic notions in quantum information theory as qubit, channel, composite systems and entangled states should be formulated in space and time. In particlular we suggest that instead of a two level system (qubit) the basic notion in a relativistic quantum information theory should be a notion of an elementary quantum system, i.e. an infinite dimensional Hilbert space $H$ invariant under an irreducible representation of the Poincare group labeled by $[m,s]$ where $m\geq 0$ is mass and $s=0,1/2,1,...$ is spin. We emphasize an importance of consideration of quantum information theory from the point of view of quantum field theory. We point out and discuss a fundamental fact that in quantum field theory there is a statistical dependence between two regions in spacetime even if they are spacelike separated. A classical probabilistic representation for a family of correlation functions in quantum field theory is obtained. Entangled states in space and time are considered. It is shown that any reasonable state in relativistic quantum field theory becomes disentangled (factorizable) at large spacelike distances if one makes local observations. As a result a violation of Bell`s inequalities can be observed without inconsistency with principles of relativistic quantum theory only if the distance between detectors is rather small. We suggest a further experimental study of entangled states in spacetime by studying the dependence of the correlation functions on the distance between detectors.

研究の動機と目的

• qubit の理想化された枠組みを越えて、時空依存性を組み込んだ量子情報理論の再定式化を図ること。
• 局所性ともつれが相対論的量子場理論においてどのように共存できるかという基礎的問題に取り組むこと。
• ベルの不等式違反が相対論的因果律と整合する条件を特定すること。
• 実時間量子場理論における量子相関関数の古典的確率的表現を確立すること。
• 時空内での検出器間の距離依存性に起因するもつれの実験的検証を提案すること。

提案手法

• 質量 $m \geq 0$ とスピン $s$ でラベル付けされた、Poincaré群の既約ユニタリ表現として定義される素性量子系を、相対論的量子情報理論における基本的単位としてqubitに置き換える。
• Wignerの素粒子分類を用いて、フォック空間上での相対論的量子系を定義する。
• Wickの定理とRiemann-Lebesgueの補題を用いて、局所的観測量が大規模な空間的分離距離において漸近的にもつれが解けた状態になることを証明する。
• 実時間における量子相関関数の関数的積分表現を導出し、それが古典的一般化確率的場の数学的期待値に等しいことを示す。
• 時空変数を組み込んだ修正版ベル方程式を導入し、相対論的設定下での局所性を分析する。
• Kallen-Lehmann表現を用いて、相互作用を有するスカラー場に対しても古典的確率的表現を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 qubit を Poincaré不変性を持つ系に置き換えることで、相対論的時空枠組みにおける量子情報理論を一貫して定式化することは可能か？
• RQ2 ベルの不等式違反が相対論的量子場理論と整合するのはどのような条件下か？
• RQ3 局所的観測において、大規模な空間的距離に達したとき、量子場理論におけるもつれ状態がどの程度非可分解のままであるか？
• RQ4 相対論的場理論における量子相関関数は、古典的確率過程の期待値として表現可能か？
• RQ5 相対論的量子場理論において、検出器間の相関関数は、その空間的距離にどのように依存するか？

主な発見

• 相対論的量子場理論における任意の多項式状態は、局所的観測において大規模な空間的分離距離に達すると漸近的に可分解（もつれが解けた状態）になる。これは、$\lim_{|l|\to\infty} [\omega(A(l)B) - \omega(A(l))\omega(B)] = 0$ により示される。
• 真空の2点関数 $W_0(x-y,m^2)$ は空間的分離距離とともに指数関数的に減少し、$\lambda = m\sqrt{-x^2}$ に対して、$\sim \frac{m^2}{4\pi\lambda} \left(\frac{\pi}{2\lambda}\right)^{1/2} e^{-\lambda}$ のように漸近的に振る舞う。
• スカラー場、ディラック場、マクスウェル場の相関関数は、古典的確率的表現を有する：$\langle 0|\varphi(x_1)\cdots\varphi^*(y_n)|0\rangle = \mathbb{E}[\xi(x_1)\cdots\xi^*(y_n)]$、ここで $\xi(x)$ は古典的一般化確率的場である。
• 局所的観測量の漸近的可分解性は、ベルの不等式違反が相対性理論と整合するのは、検出器間の距離が小さい場合に限ることを示唆する。
• Kallen-Lehmann表現により、古典的確率的表現が相互作用を有するスカラー場へと拡張可能であり、相関関数の正定値性が保たれる。
• 非可換スペクトル定理により、局所的実在性を量子場理論の言語で表現する枠組みが得られ、確率過程と結びつけることで、量子暗号のセキュリティ分析が可能になる。