[論文レビュー] Towards Rigorous Derivation of Quantum Kinetic Equations

V. I. Gerasimenko, Zh.A. Tsvir|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2010

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、多粒子系の量子BBGKY階層から量子運動方程式を厳密に導出する。初期状態が1粒子密度演算子によって記述され、その性質が「混合性（chaos）」を満たす場合、全多粒子系の時間発展が近似なしに一般化量子運動方程式と明示的に定義された相関関数型の無限列によって正確に記述可能であることを示している。主な結果は、平均場スケーリング下で、量子BBGKY階層と一般化運動方程式がトレースクラス演算子の空間において等価であるということである。

ABSTRACT

We develop a rigorous formalism for the description of the evolution of states of quantum many-particle systems in terms of a one-particle density operator. For initial states which are specified in terms of a one-particle density operator the equivalence of the description of the evolution of quantum many-particle states by the Cauchy problem of the quantum BBGKY hierarchy and by the Cauchy problem of the generalized quantum kinetic equation together with a sequence of explicitly defined functionals of a solution of stated kinetic equation is established in the space of trace class operators. The links of the specific quantum kinetic equations with the generalized quantum kinetic equation are discussed.

研究の動機と目的

• 1粒子密度演算子を用いた量子多粒子系の時間発展を記述する、厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 微視的力学（すなわち、フォンノイマン方程式または量子BBGKY階層）から量子運動方程式を近似なしに導出するという根本的問題を解決すること。
• 初期データが混合性を満たす場合に、量子BBGKY階層の解と一般化量子運動方程式および相関関数型の組み合わせが等価であることを証明すること。
• 一般化量子運動方程式を導出するための、散乱演算子の積率の運動クラスタ展開に基づく形式的枠組みを構築すること。
• 平均場スケーリング下で混合性の性質が時間的に保存されることを示し、正確な1粒子記述が可能になること。

提案手法

• 形式的枠組みは、多粒子量子系におけるマージナル密度演算子の時間発展を記述する量子BBGKY階層に立脚している。
• 状態のマージナル関数型の概念を用い、全多粒子密度演算子から導かれる粒子間の相関を表現している。
• 散乱演算子の積率の運動クラスタ展開を適用し、一般化量子運動方程式を体系的に導出している。
• ドゥハメルの原理と摂動論を用いて、平均場極限における時間発展演算子の漸近的挙動を分析している。
• 有界な相互作用ポテンシャルに対して、有限時間区間における級数展開の収束を確立している。
• 一般化量子運動方程式について、トレースクラス演算子空間内での強い解および弱い解の存在と一意性を証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、全量子多粒子系の時間発展が1粒子密度演算子によって正確に記述可能となるか？
• RQ2 近似なしに、量子BBGKY階層から量子運動方程式を厳密に導出するにはどうすればよいか？
• RQ3 混合性の性質が、時間経過に伴って1粒子記述を保存する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ4 近似なしに、状態のマージナル関数型がどのように多粒子相関を符号化しているか？
• RQ5 一般化量子運動方程式の数学的構造は何か？また、非線形シュレーディンガー方程式や量子ボルツマン方程式といった特定の方程式とどのように関係しているか？

主な発見

• 量子BBGKY階層のコーシー問題は、一般化量子運動方程式とその解に関する無限列の明示的関数型のコーシー問題に等価である。
• 初期状態が混合性の性質（例：マクスウェル＝ボルツマン統計）を満たす場合、1粒子密度演算子が近似なしに全多粒子状態の時間発展を完全に決定する。
• 平均場スケーリング極限では、混合性の性質が時間的に保存され、s粒子マージナル関数型が1粒子密度の積に収束することが示された：$\lim_{\epsilon \to 0} \|\epsilon^s F_s - \prod_{j=1}^s f_1(t,j)\|_{\mathfrak{L}^1} = 0$。
• 一般化量子運動方程式は、散乱演算子の積率のクラスタ展開により導出され、有界な相互作用ポテンシャルに対して有限時間区間で収束が保証されている。
• 一般化量子運動方程式に対して、トレースクラス演算子空間内に強い解および弱い解が存在することが証明された。
• この手法はフェルミ・ディラック統計およびボーズ＝アインシュタイン統計へも拡張可能であるが、一般化方程式および関数型の構造は異なり、今後の研究で分析される予定である。