[論文レビュー] Towards the fixed parameter tractability of constructing minimal phylogenetic networks from arbitrary sets of nonbinary trees

Steven Kelk, Céline Scornavacca|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2012

Evolution and Paleontology Studies参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非二分木の任意の集合から最小の系統発生ネットワークを構築する問題が、二つの十分条件を満たす場合に固定パラメータ可 tractable (FPT) であることを確立している。すなわち、木の数が再接合数 $ r $ の関数で有界である場合、または木における最大ノード次数が $ r $ の関数で有界である場合である。この手法は再接合ジェネレータとクラスタベースの分類子割り当てを用い、$ f(r) \cdot \text{poly}(m) $ の時間計算量を達成する。これは、二つの非二分木または複数の二分木に対して既に知られていたFPT結果を拡張するものである。

ABSTRACT

It has remained an open question for some time whether, given a set of not necessarily binary (i.e. "nonbinary") trees T on a set of taxa X, it is possible to determine in time f(r).poly(m) whether there exists a phylogenetic network that displays all the trees in T, where r refers to the reticulation number of the network and m=|X|+|T|. Here we show that this holds if one or both of the following conditions holds: (1) |T| is bounded by a function of r; (2) the maximum degree of the nodes in T is bounded by a function of r. These sufficient conditions absorb and significantly extend known special cases, namely when all the trees in T are binary, or T contains exactly two nonbinary trees. We believe this result is an important step towards settling the issue for an arbitrarily large and complex set of nonbinary trees. For completeness we show that the problem is certainly solveable in polynomial time.

研究の動機と目的

• 与えられた非二分木の集合から最小の系統発生ネットワークを構築する問題が、再接合数 $ r $ をパラメータとして固定パラメータ可 tractable (FPT) となる条件を特定すること。
• 従来、二つの非二分木または複数の二分木に限られていたFPT結果を、より広い十分条件に拡張すること。
• 指定された有界性条件下で、$ m = |\mathcal{X}| + |\mathcal{T}| $ として、時間 $ f(r) \cdot \text{poly}(m) $ で実行されるアルゴリズムを開発すること。
• クラスタの構造的性質と再接合ジェネレータを活用して、任意の非二分木の集合（木の数やノード次数が無限大でもよい場合を含む）を扱うための枠組みを提供すること。

提案手法

• 目標とする再接合数 $ r $ をもとに、$ r $-再接合ジェネレータを推測する。このようなジェネレータの数は高々 $ f(r) $ 個である。
• 各ジェネレータの側面について、割り当てられる分類子の数（0、1、2、または>2）を推測する。1つの分類子が割り当てられる側については、その分類子の特定を推測する。>2つの分類子が割り当てられる側については、根に近い分類子（$ s^+ $）と最も遠い分類子（$ s^- $）を推測する。
• 側面を特定の順序で処理する。具体的には、「最低」の側面（他の>2の側面から到達できない、分類子が欠落している側面）から始め、順番に各側面にすべての分類子を割り当てる。
• 分類子は、$ C \in \text{Cl}(\mathcal{T}) $ であるクラスタ $ C $ に属する場合にのみ、側面 $ s $ に割り当てられる。ここで、分類子と $ s^- $ が $ C $ に属するが、$ s^+ $ は属さない。
• 各側面における分類子の総順序は、$ \rightarrow_{\text{Cl}(\mathcal{T})} $ 関係によって一意に決定され、ST-圧縮仮定の下でこの関係はサイクルを含まない。
• 最後に、完成したネットワークが $ \mathcal{T} $ のすべての木を表示するかを、$ f(r) \cdot \text{poly}(m) $ 時間で確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再接合数 $ r $ をパラメータとして、非二分木の集合から最小の系統発生ネットワークを構築する問題が、どのような条件下でFPTとなるか。
• RQ2 二つの非二分木や複数の二分木に対して得られているFPT結果を、数が無限大または次数が高い非二分木の集合に対しても拡張可能か。
• RQ3 効率的な分類子割り当てとネットワーク構築を可能にする、クラスタと再接合ジェネレータの構造的特徴づけは存在するか。
• RQ4 『共通鎖』の概念を非二分木に一般化することで、多木・非二分木設定におけるカーネル化を支援できるか。
• RQ5 $ \rightarrow_{\text{Cl}(\mathcal{T})} $ 関係がネットワークの各側面における分類子の順序付けに与える影響は何か。また、その関係が正しさを保証する仕組みは何か。

主な発見

• 木の数 $ |\mathcal{T}| $ が $ r $ の関数で有界である場合、問題はFPTである。これは、二つの非二分木に対する既知の結果を拡張するものである。
• 木における最大ノード次数が $ r $ の関数で有界である場合、問題はFPTである。これは、二分木の場合の一般化である。
• アルゴリズムは、$ r $-再接合ジェネレータとクラスタベースの分類子割り当てを用いて、$ m = |\mathcal{X}| + |\mathcal{T}| $ として、時間 $ f(r) \cdot \text{poly}(m) $ でネットワークを構築する。
• 各ジェネレータの側面における分類子の順序は、$ \rightarrow_{\text{Cl}(\mathcal{T})} $ 関係によって一意に決定され、ST-圧縮仮定の下でこの関係はサイクルを含まない。
• クラスタメンバーシップと相対的位置に基づき、処理順序を最適化することで、すべての分類子が一貫して割り当てられることを保証する。
• この枠組みは、$ |\mathcal{T}| $ やノード次数が無限大であっても、将来的な一般非二分木・多木設定におけるFPTアルゴリズムの基盤を提供する。