[論文レビュー] Towards the matrix model of M-theory on a lattice

Romuald A. Janik, J. Wosiek|ArXiv.org|Mar 15, 2000

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、D=4次元に次元削減された超対称ヤン・ミルズ理論のウィルソン離散化を用いて、M理論の行列模型の格子形式を構築し、クエンチ近似下でのSU(2)模型を研究した。ブラックホールからストリングスへの相転移の原型が特定され、擬似臨界温度 $ \tilde{T}_c = 0.35 \pm 0.04 $ が同定された。また、系のサイズの連続極限における正準スケーリングが確認され、低温・高温相で顕著な相違が示された。

ABSTRACT

The Wilson discretization of the dimensionally reduced supersymmetric Yang-Mills theory is constructed. This gives a lattice version of the matrix model of M-theory. An SU(2) model is studied numerically in the quenched approximation for D=4. The system shows canonical scaling in the continuum limit. A clear signal for a prototype of the "black hole to strings" phase transition is found. The pseudocritical temperature is determined and the temperature dependence of the total size of the system is measured in both phases. Further applications are outlined.

研究の動機と目的

• M理論の行列模型に対する格子場理論的手法の開発を通じて、その非摂動的ダイナミクスの研究を可能にする。
• 簡略化されたD=4、SU(2)版の行列模型が、M理論で予測された「ブラックホールからストリングスへの相転移」に類似した相転移を示すかどうかを検証すること。
• ウィルソン離散化を用いた格子シミュレーションを通じて、連続極限における正準スケーリングを確立すること。
• 系のサイズの温度依存性を測定し、クエンチ近似下での臨界的挙動を同定すること。
• 将来の動的フェルミオンや高ランクゲージ群を含む研究の基盤を築くこと。

提案手法

• 空間的自由度を $N_i=1$ に縮約した1次元時間的格子上に、次元削減されたD=4超対称ヤン・ミルズ理論のウィルソン離散化を構築する。
• 標準的な格子ゲージ作用 $S_G = -\beta \sum_m \sum_{\mu>\nu} \frac{1}{N} \text{Re}(\text{Tr } U_{\mu\nu}(m))$ を用い、ここで $\beta = 2N / a^3 g^2$ である。
• 空間次元の縮約により $N_i=1$ であるため、フェルミオン行列がブロック三重対角構造を示し、新規アルゴリズムにより $O(V)$ 時間でフェルミオン行列式（Pfaffian）を効率的に計算可能である。
• フェルミオン行列式の関数的依存性を無視することでクエンチ近似下でモデルを研究し、ゲージダイナミクスと相構造に注目する。
• 大$N$効果を $N=2$ でも近似できるように、't Hooft結合 $\lambda = g^2 N$ を用いる。
• 格子間隔 $a$ の2次および4次多項式フィットを用いて、系のサイズ $\langle R^2 \rangle$ の連続極限をとる。データサブセットを用いた安定性のチェックも実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D=4のM理論行列模型の格子形式は、「ブラックホールからストリングスへの相転移」に類似した相転移を示すか？
• RQ2 クエンチ近似下でのSU(2)模型における相転移の擬似臨界温度 $\tilde{T}_c$ は何か？
• RQ3 系のサイズ $\langle R^2 \rangle $ は温度および格子間隔にどのように依存するか？連続極限において正準スケーリングを示すか？
• RQ4 SU(2)の結果が、完全なM理論行列模型で予想される大$N$挙動をどの程度再現するか？
• RQ5 格子アプローチは、低エネルギーにおけるコンfinementや高温での $T^{1/2}$ スケーリングといった、行列模型の定性的な熱力学的挙動を信頼性を持って捉えられるか？

主な発見

• SU(2)模型において、「ブラックホールからストリングスへの相転移」の原型となる明確なシグナルが観測され、擬似臨界温度は $\tilde{T}_c = 0.35 \pm 0.04$ であった。
• 連続極限において正準スケーリングが確認され、$\langle R^2 \rangle$ の $a$-依存性の外挿が2次および4次フィットで安定しており、その妥当性が裏付けられた。
• 温度依存性として、低温では定数、高温では $T^{1/2}$-に類似した増加が観測され、無限大$N$極限における解析的予測と整合的であった。
• SU(2)の平均場モデルと定性的に一致し、真空駆動による定数領域と中間領域の線形挙動が再現され、その後 $T^{1/2}$ スケーリングに転換した。
• クエンチ近似は相構造の本質的特徴を保持しており、$SU(2)$ が高ランクや完全なD=10モデルの代理として使用可能であることを支持する。
• 格子構成により、標準的な $O(V^3)$ 手法と比較して著しく計算コストを削減した $O(V)$ アルゴリズムによるフェルミオン行列式の計算が可能となった。