[論文レビュー] TQFT computations and experiments

Norbert A’Campo|ArXiv.org|Nov 30, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3次元TQFTにおけるVerlindeモジュール上の写像類群の射影的表現を明示的に計算するための計算フレームワーク、TQFTを提示する。Pari-gpとRoberts、Masbaum、Vogelの融合則を用いて、三価グラフの許容的彩色を通じてドーン変換作用を計算し、cyclotomic体におけるトレース不変量を介して非共役のモノドロミー作用を検出することにより、古典的不変量が同一の変種リンクをTQFT不変量が区別できることを示している。

ABSTRACT

With the help of a new program, we do computations concerning the Witten-Reshetikhin-Turaev representations of mapping class groups. In particular we distinguish some mutant fibered knots. The program can be downloaded from http://www.geometrie.ch/TQFT

研究の動機と目的

• 写像類群のVerlindeモジュール上への明示的TQFT表現を計算するためのツールを開発すること。
• Roberts、Masbaum、Vogelの融合則を実装し、量子不変量の計算を効率化すること。
• TQFT不変量が、古典的不変量で区別できない変種リンクを区別できるかどうかを検証すること。
• 異なるリンク種別におけるPGL(n, C_{2k+4})内でのモノドロミー表現の非共役性を調査すること。
• TQFT表現が、より高いレベルにおけるSL(2,Z)の非共役元を検出できるかどうかを調査すること。

提案手法

• プログラムTQFTは、Pari-gpを用いて、Verlindeモジュール上の行列をcyclotomic体C_{2k+4} = Q(A)/(Φ_{2k+4}(A))上で計算する。
• 三価グラフΓ_gの許容的(k,i)-彩色は、三角不等式および和の不等式を満たす偶数の辺彩色として定義され、固定された境界彩色iを持つ。
• 写像類群の生成子（A_eおよびB_rに関するドーン変換）は、Verlindeモジュールの基底要素への作用を通じて行列として実装される。
• プログラムは、init_so(k)およびinit_boom_so([0,1,...,g-1],i)により初期化され、レベルを設定し、許容的彩色の基底を計算する。
• 行列作用はtwA(e)およびtwB(r)を用いて計算され、トレース解析のためcyclotomic体に保存される。
• モノドロミー行列のトレース不変量（3乗まで）が計算され、PGL(n, C_{2k+4})内での非共役性を検出するために比較される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TQFT不変量は、Kauffman、HOMFLY、Khovanov不変量で区別できない変種リンクを区別できるか？
• RQ2 slalomリンクのモノドロミー写像のTQFT表現は、PGL(n, C_{2k+4})内で非共役の行列をもたらすか？
• RQ3 k ≥ 3で奇数となるレベルkが存在し、SL(2,Z)内の非共役元がTQFT表現においても非共役のままであるか？
• RQ4 低次のトレースが一致する場合でも、モノドロミー行列のべき乗のトレースがTQFT表現の差を検出できるか？
• RQ5 写像類群のTQFT表現が、共役な要素の像が非共役であるため、GL(2,Z)に拡張できないのか？

主な発見

• g=1、k=7の場合、TQFT表現ρ₇: SL(2,Z) → PGL(3,C₁₈)はGL(2,Z)に拡張されない。これは、SL(2,Z)内の共役な要素の像がPGL(3,C₁₈)内で非共役であるためである。
• k=5のレベルにおいて、SL(2,Z)内のa=[7,3;2,1]とb=[7,1;6,1]は、SL(2,Q)内で共役であるが、PGL(2,C₁₄)内で非共役である。
• 15n30444と15n30419の変種ペアに関しては、V⁶_{3,0}上のTQFT作用は、1次および2次トレースが等しいが、3次トレースが異なるため、PGL(675,C₁₀)内で非共役であることが証明された。
• 15n30444/15n30419ペアの計算には2分18.84秒を要し、675×675行列が生成され、3次トレースの差が現れた。
• i=2のgenus 5のslalomリンクに関しては、V⁵_{3,2}（サイズ275）上のTQFT作用は、1次および2次トレースが等しいが、3次トレースが異なるため、非共役性が確認された。
• プログラムは、Kauffman、HOMFLY、Khovanov不変量が同一のリンクを、cyclotomic体におけるトレース不変量を介した非共役モノドロミー作用の検出により、正しく区別できた。