[論文レビュー] Trace and extension theorems for homogeneous Sobolev and Besov spaces for unbounded uniform domains in metric measure spaces

Ryan Gibara, Nageswari Shanmugalingam|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2022

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、測度空間における非有界一様領域上の同次ソボレフ空間およびベソフ空間のトレースおよび拡張定理を確立する。$ 0 < \theta < p $ の条件下で $ \theta $-余次元測度条件を満たすとき、$ D^{1,p}(\bar{\Omega}) $ から $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ への有界線形トレース作用素と、その逆方向への有界線形拡張作用素の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper we fix $1\le p&lt;\infty$ and consider $(\Om,d,μ)$ be an unbounded, locally compact, non-complete metric measure space equipped with a doubling measure $μ$ supporting a $p$-Poincaré inequality such that $\Om$ is a uniform domain in its completion $\bar\Om$. We realize the trace of functions in the Dirichlet-Sobolev space $D^{1,p}(\Om)$ on the boundary $\partial\Om$ as functions in the homogeneous Besov space $HB^α_{p,p}(\partial\Om)$ for suitable $α$; here, $\partial\Om$ is equipped with a non-atomic Borel regular measure $ν$. We show that if $ν$ satisfies a $θ$-codimensional condition with respect to $μ$ for some $0&lt;θ

研究の動機と目的

• 測度空間における非有界一様領域へのトレースおよび拡張定理の拡張。
• 関数 $ f \in D^{1,p}(\Omega) $ のトレースが、同次ベソフ空間 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ の元として特徴づけられることの特定。
• $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ から $ D^{1,p}(\Omega) $ への有界線形拡張作用素の存在の確立、かつトレース作用素がその左逆元となること。
• 境界 $ \partial\Omega $ が非有界である場合の取り扱い、これは従来の有界領域に対する結果ではカバーされていなかった。
• トレースおよび拡張作用素の有効性に寄与する境界測度 $ \nu $ における $ \theta $-余次元条件の役割の明確化。

提案手法

• ドメイン $ \Omega $ のディーゼル・ホワイトニー型被覆を、dyadic Whitney 球 $ B_{i,j} $ とそれに付随する partition of unity $ \{\varphi_{i,j}\} $ を用いて行う。
• 関数 $ f \in HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ に対して、$ F(x) = \sum_{i,j} \left( \fint_{U_{i,j}} f\, d\nu \right) \varphi_{i,j}(x) $ により拡張作用素 $ E $ を定義する。ここで $ U_{i,j} \subset \partial\Omega $ は Whitney 球に対応する境界集合である。
• 測度比較を制御するため、$ \theta $-余次元条件 $ \frac{1}{C} \nu(B(\zeta,r)\cap\partial\Omega) \leq \frac{\mu(B(\zeta,r)\cap\Omega)}{r^\theta} \leq C \nu(B(\zeta,r)\cap\partial\Omega) $ を適用する。
• Hölder の不等式と $ \mu $ のダブルリング性質を用いて、$ F $ の $ L^p $-ノルムを $ f $ のベソフ半ノルムで上から抑える。
• トレース作用素 $ T $ が、$ \nu $-almost everywhere での $ \zeta \in \partial\Omega $ に対して $ \lim_{r\to 0^+} \fint_{B(\zeta,r)\cap\Omega} |u - Tu(\zeta)|\, d\mu = 0 $ を満たすことを証明し、点ごとの a.e. トレース挙動を保証する。
• 合成作用素 $ T \circ E $ が $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 上で恒等写像として作用することを示し、拡張作用素が右逆元であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度空間における非有界一様領域上での同次ソボレフ空間およびベソフ空間のトレースおよび拡張定理を拡張することは可能か？
• RQ2 有界線形トレースおよび拡張作用素の存在に必要な・十分な境界測度 $ \nu $ の条件は何か？
• RQ3 境界測度 $ \nu $ における $ \theta $-余次元条件は、トレースおよび拡張作用素の正則性とどのように関係するか？
• RQ4 境界 $ \partial\Omega $ が非有界であるとき、同次ベソフ空間 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ は $ D^{1,p}(\Omega) $ の正しいトレース空間として適切か？
• RQ5 境界 $ \partial\Omega $ が非有界で $ 0 < \theta < p $ のとき、拡張作用素は線形かつ有界か？

主な発見

• $ 0 < \theta < p $ の下で $ \theta $-余次元条件を満たすとき、$ D^{1,p}(\Omega) \to HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ への有界線形トレース作用素 $ T $ が存在する。
• トレース作用素は、$ \nu $-almost everywhere での $ \zeta \in \partial\Omega $ に対して $ \lim_{r\to 0^+} \fint_{B(\zeta,r)\cap\Omega} |u - Tu(\zeta)|\, d\mu = 0 $ を満たし、点ごとの a.e. トレース挙動を保証する。
• トレース作用素 $ T \circ E $ が $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 上で恒等写像となるような、$ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) \to D^{1,p}(\Omega) $ への有界線形拡張作用素 $ E $ が存在する。
• 拡張作用素はホワイトニー分解と境界集合上での平均化により構成され、$ \theta $-余次元性および $ \mu $ と $ \nu $ のダブルリング性により $ L^p $-ノルムが制御される。
• 境界 $ \partial\Omega $ が非有界であっても、この結果は成り立つ。これは、従来の研究が有界境界を仮定していたため、新たな貢献である。
• $ p=1 $ の場合、定理は $ 0 < \theta < 1 $ を要請する。$ \theta = 1 $ では $ L^1 $-トレースとなり、非線形拡張が生じるが、$ \theta < 1 $ であることにより線形有界拡張が保証される。