[論文レビュー] Trace and extension theorems for Sobolev-type functions in metric spaces

Lukáš Malý|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、境界がcodimension-\theta正則性を示す測度付き距離空間におけるSobolev型関数について、鋭いトレースおよび拡張定理を確立する。境界がcodimension-\theta正則性を示し、$p > \theta$ であるとき、ニュートン空間 $N^{1,p}(\Omega)$ から境界上のベソフ空間への有界線形トレース作用素の存在を証明する。さらに、右逆作用素として線形拡張作用素を構成し、$p = \theta$ の臨界ケースにおいて、反例を用いて重み条件の鋭さを示す。この場合、重みなしではトレースが存在しない。

ABSTRACT

Trace classes of Sobolev-type functions in metric spaces are subject of this paper. In particular, functions on domains whose boundary has an upper codimension-$ heta$ bound are considered. Based on a Poincar\'e inequality, existence of a Borel measurable trace is proven whenever the power of integrability of the "gradient" exceeds $ heta$. The trace $T$ is shown to be a compact operator mapping a Sobolev-type space on a domain into a Besov space on the boundary. Sufficient conditions for $T$ to be surjective are found and counterexamples showing that surjectivity may fail are also provided. The case when the exponent of integrability of the "gradient" is equal to $ heta$, i.e., the codimension of the boundary, is also discussed. Under some additional assumptions, the trace lies in $L^ heta$ on the boundary then. Essential sharpness of these extra assumptions is illustrated by an example.

研究の動機と目的

• 境界がcodimension-\theta正則性を示すとき、ニュートン空間 $N^{1,p}(\Omega)$ から境界上のベソフ空間への線形トレース作用素の存在および有界性を確立すること。
• トレース作用素の右逆作用素として有界線形拡張作用素を構成し、適切な幾何的・解析的条件下で全射性を保証すること。
• 臨界ケース $p = \theta$ を調べ、トレースが $L^\theta(\partial\Omega)$ に属するための重み $w_\varepsilon = \log(2\operatorname{diam}\Omega / \operatorname{dist}(x,\partial\Omega))^{\theta+\varepsilon}$ が本質的に鋭いことを証明すること。
• 反例を用いて、目標空間が弱い仮定のもとで最適であっても、トレース作用素が全射でないことがあることを示すこと。

提案手法

• 領域 $\Omega$ における $p$-Poincaré 不等式とダブリング測度を用いて、境界付近における関数の振動を制御する。
• 境界 $\partial\Omega$ におけるアーフォルスのcodimension-\theta正則性を適用し、測度の成長を制御し、トレース推定を可能にする。
• 境界と交わる球における平均化を用いてトレース作用素を構成し、半径をゼロに近づけるとほとんど everywhere で収束することを示す。
• 最大関数の推定とニュートン空間内での近似を用いて、トレース作用素の有界性と全射性を証明する。
• ホイットニー型分割と平均化による拡張を用いて、非線形な右逆作用素を介して線形拡張作用素を構成する。
• 臨界ケース $p = \theta$ におけるトレースの正則性を保証するため、対数的重みを用いた重み付き $L^p$-ノルムを用い、明示的な反例により鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界がcodimension-\theta正則性を示し、$p > \theta$ のとき、$N^{1,p}(\Omega)$ に属する関数のトレースが、$B^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega)$ に属するための条件は何か？
• RQ2 トレース作用素は $N^{1,p}(\Omega)$ から $B^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega)$ に全射的か？ もし全射でなければ、何が全射性を妨げるか？
• RQ3 臨界ケース $p = \theta$ のとき、勾配の積分性条件における最適な重みは何か？ また、この重みはトレースが $L^\theta(\partial\Omega)$ に属するためには必要か？
• RQ4 目標空間が最適であっても、トレース作用素が全射でないことがあるか？ もしそうなら、どのような幾何的・解析的条件下でそうなるか？

主な発見

• 領域 $\Omega$ がジョン領域またはユニフォーム領域であり、$\mu\restriction\Omega$ がダブリングで、$p > \theta$ のとき $p$-Poincaré 不等式が成り立つならば、トレース作用素 $T: N^{1,p}(\Omega) \to B^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega)$ は有界かつ全射的である。
• トレース作用素 $T$ の右逆作用素として、有界線形拡張作用素 $E: B^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) \to N^{1,p}(\Omega)$ が存在し、境界上のベソフ関数がすべて領域内にニュートン関数として引き上げられることを保証する。
• 臨界ケース $p = \theta > 1$ において、トレースが $L^\theta(\partial\Omega)$ に属するのは、勾配が重み $w_\varepsilon = \log(2\operatorname{diam}\Omega / \operatorname{dist}(x,\partial\Omega))^{\theta+\varepsilon}$ を持つ重み付き $L^\theta$ 空間に属する場合に限る。この重みは本質的に鋭い。
• 反例により、境界のcodimensionが積分指数よりも高い場合、トレース作用素が全射でないことがあることが示された。
• 臨界ケースにおける重み条件は鋭い：任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$N^{1,\theta}(\Omega, w_{-\varepsilon} d\mu)$ に属する関数が存在し、そのトレースは境界のすべての点で発散する。
• トレース作用素が $B^{1-\theta/p}_{p,\infty}(\partial\Omega)$ に値を取る場合でさえ、$B^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega)$ に値を取らないことがある。これは、一般の領域では目標空間が最適でない可能性を示唆する。