[論文レビュー] Trace- and pseudo-products: restriction-like semigroups with a band of projections

D. G. FitzGerald, Michael Kinyon|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2021

semigroups and automata theory参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、射影がバンドを形成する圏および半群において、トレースと擬積を導入し、Ehresmann-Schein-Nambooripad (ESN) 定理を一般化する。射影のバンドを備えた転写圏と、ある種の半群の間で自己双対的かつ両側的な同値関係を確立し、∗-局所化可能な半群が転写群ガロアとちょうど一致することを示す。主な貢献は、可換な射影や半帯的冪等元を仮定しない、双対性を保つバンドに基づくESN型同値の一般化である。

ABSTRACT

We ascertain conditions and structures on categories and semigroups which admit the construction of pseudo-products and trace products respectively, making their connection as precise as possible. This topic is modelled on the ESN Theorem and its generalization to ample semigroups. Unlike some other variants of ESN, it is self-dual (two-sided), and the condition of commuting projections is relaxed. The condition that projections form a band (are closed under multiplication) is shown to be a very natural one. One-sided reducts are considered, and compared to (generalized) D-semigroups. Finally the special case when the category is a groupoid is examined.

研究の動機と目的

• 射影が可換であるという要件を緩和し、代わりにバンドを形成することを要件とするようにESN定理を一般化すること。
• トレースおよび擬積を用いて、射影のバンドを備えた圏（転写圏）とある種の半群の間で、正確で自己双対的かつ両側的な対応関係を確立すること。
• バンドとしての射影の役割が、逆半群や群ガロア構造を拡張する上で果たす役割を明らかにすること、特に制限的半群の文脈において。
• 基礎となる圏が群ガロアである特別な場合を検討し、∗-局所化可能な半群が転写群ガロアから生じる半群とちょうど一致することを示すこと。

提案手法

• 射影のバンドを備えた圏としての転写圏を定義し、左制限と右制限を表す二項演算 | を備え、(3.1a)–(3.1f) の公理を満たすものとし、恒等元集合 C+ が e|f に関してバンドをなすことを保証する。
• 擬積 x ⊗y = (x|y+) ◦(x−|y) を導入し、これは圏の演算 ◦ および制限演算 | を両方拡張するものであり、結合的かつ構造と整合することを証明する。
• 転写圏に擬積を適用することで、局所化可能な半群 (S, ·, +, −) が得られることを確立し、x+ = xx∗ および x− = x∗x となることを利用する。
• 公理 (8.1a)–(8.1e) を用いて ∗-局所化可能な半群を定義し、これは正則 *-半群を一般化し、x∗∗= x を満たし、冪等元を固定する適合する対合 ∗ の存在を保証する。
• 半群が ∗-局所化可能であることと、その関連圏 C(S) が転写群ガロアであることとは同値であることを証明し、カテゴリカルな双対性を確立する。
• 双対性を用いて、∗-局所化可能な半群のすべての冪等元が射影（つまり e+ = e− = e）であることを示し、その半群が正則であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影のバンドを備えた圏が、半群構造を回復するトレースまたは擬積構成を許容する条件は何か？
• RQ2 射影のバンド条件（乗法に関して閉じていること）は、標準的なESN定理の仮定をどのように一般化または緩和するのか。特に、可換冪等元の要件に対する一般化としての役割は？
• RQ3 擬積構成の正確なカテゴリカル双対は何か。理論が自己双対のままであるのはなぜか？
• RQ4 ∗-局所化可能な半群と転写群ガロアの関係は何か。この双対性において対合 ∗ が果たす役割は？
• RQ5 群ガロアの場合、擬積構成からどのような構造的性質（例：冪等元が射影であること）が生じるのか？

主な発見

• 擬積 x ⊗y = (x|y+) ◦(x−|y) は結合的であり、圏の演算および制限写像を両方拡張し、圏上でwell-definedな二項演算を形成する。
• 圏が転写圏であることと、その関連半群 S(C) が局所化可能な半群であることとは同値であり、カテゴリカル・構造的双対性が確立される。
• 半群 (S, ·, ∗) が ∗-局所化可能であることと、その関連圏 C(S) が転写群ガロアであることとは同値であり、完全なカテゴリカルな特徴づけが得られる。
• ∗-局所化可能な半群では、すべての冪等元 e に対して e+ = e− = e が成り立つため、すべての冪等元が射影であり、半群は正則である。
• ∗-局所化可能な半群における対合 ∗ は x∗∗= x を満たし、すべての冪等元を固定する。公理 (8.1a)–(8.1e) は、局所化可能な構造と整合性を持つことを保証する。
• 理論は自己双対的である：擬積の構成および左・右作用の双対性は、すべての演算を逆転させても保たれる。