[論文レビュー] Trace asymptotics for subordinate semigroups

Rodrigo Bañuelos, Fabrice Baudoin|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上での、ラプラシアンの部分的微分作用素によって生成される部分的半群の小時間トレース漸近挙動を確立する。ウェイルの法則とカラマタのTauber定理を活用することで、$\psi(-\Delta)$ に付随する熱半群のトレースが、$t \to 0^+$ のとき $\mathbf{Tr}('\mathbf{Q}_t') \sim C \cdot \varphi(1/t)^{n/2}$ と漸近的に振る舞うことを証明する。ここで $\psi$ は正則に変化するベルンシュタイン関数である。これは、$\alpha$-安定過程に限らず、広範な部分的作用素のクラスにまで、先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We address a conjecture of D. Applebaum on small time trace asymptotics for subordinate Brownian motion on compact manifolds.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群上での $\alpha$-安定過程の小時間トレース漸近挙動に関する D. Applebaum の予想を解決すること。
• カウチ過程（$\alpha=1$）を超えて、コンパクトなリーマン多様体上での広範な部分的半群のトレース漸近挙動を一般化すること。
• ラプラシアンの関数 $\psi(-\Delta)$ によって生成される熱半群のトレースに対する一般な漸近公式を確立すること。ここで $\psi$ は正則に変化するラプラス指数を有するベルンシュタイン関数である。
• トレースの漸近的挙動が、ラプラス指数 $\psi$ の逆関数と多様体の体積によって決定されることを、スペクトル数関数の解析を通じて示すこと。

提案手法

• コンパクト多様体 $\mathbb{M}$ 上でのブラウン運動の部分的微分を用いて、半群 $\mathbf{Q}_t$ を定義するボッハナー部分的微分原理の使用。
• 部分的作用素の分布 $\eta_t$ に対する標準的熱核 $p(s,x,y)$ の積分として、熱核 $q(t,x,y)$ を表現すること。
• スペクトル分解を用いて、トレース $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t)$ を固有値の和 $\sum_{k=0}^\infty e^{-\psi(\lambda_k)t}$ として導出すること。
• 固有値数関数 $N(\lambda) \sim C \lambda^{n/2}$ として表されるウェイルの法則を用いて、$\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t)$ の漸近挙動と $\psi^{-1}$ の挙動を関連させること。
• カラマタのTauber定理を適用し、スペクトル数関数 $N^\psi(\lambda)$ の $\lambda \to \infty$ における挙動と、$\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t)$ の $t \to 0^+$ における挙動を結びつけること。
• $\psi$ が無限大において正則に変化し、指数 $r > 0$ を持つ場合の解析により、逆関数 $\varphi = \psi^{-1}$ を含む漸近公式が得られること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SU(2)$ および $SO(3)$ 上のカウチ過程における小時間トレース漸近挙動が、すべての $\alpha$-安定過程のコンパクトなリー群上に拡張可能かどうか。
• RQ2 コンパクト多様体上での部分的半群のトレース漸近挙動が、$\psi(\lambda) = \lambda^{\alpha/2}$ を超えて、より広範なベルンシュタイン関数のクラスへ一般化可能かどうか。
• RQ3 一般の増加関数であるベルンシュタイン関数 $\psi$ に対して、$\psi(-\Delta)$ によって生成される部分的半群の小時間トレース $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t)$ の正確な漸近形態は何か、$t \to 0^+$ のとき。
• RQ4 ラプラス指数 $\psi$ の逆関数が小時間トレース挙動に与える影響は何か。また、その正則に変化する性質が果たす役割は何か。

主な発見

• 部分的半群 $\mathbf{Q}_t$ のトレースは、$t \to 0^+$ のとき $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t) \sim \frac{\mathrm{Vol}(\mathbb{M})\Gamma\left(\frac{n}{2r}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot \varphi\left(\frac{1}{t}\right)^{n/2}$ と漸近的に振る舞う。ここで $\varphi = \psi^{-1}$ であり、$\psi$ は指数 $r > 0$ で正則に変化する。
• $\psi(\lambda) = \lambda^{\alpha/2}$ の場合、漸近的トレースは $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t) \sim \frac{\mathrm{Vol}(\mathbb{M})\Gamma\left(\frac{n}{\alpha}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot t^{-n/\alpha}$ と表され、$\alpha$-安定過程の既知の結果が回復される。
• $\psi$ が緩やかに変化する場合（$r=0$）、漸近的トレースは $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t) \sim \frac{\mathrm{Vol}(\mathbb{M})}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot \varphi\left(\frac{1}{t}\right)^{n/2}$ と振る舞い、$\Gamma(\cdot)$ は 1 に置き換えられる。
• 対角上での熱核の漸近挙動は副次的な結果として得られる：$t \to 0^+$ のとき $q_t(x,x) \sim \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2r}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot \varphi\left(\frac{1}{t}\right)^{n/2}$。
• 結果は、$\psi$ が無限大において増加的かつ正則に変化する指数 $r > 0$ を持つ限り、すべてのコンパクトなリーマン多様体（コンパクトなリー群を含む）に適用可能である。
• 導出はスペクトル数関数 $N^\psi(\lambda) = N(\varphi(\lambda))$ に依拠し、$\lambda \to \infty$ のときの漸近的同値 $N^\psi(\lambda) \sim \frac{\mathrm{Vol}(\mathbb{M})}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot \varphi(\lambda)^{n/2}$ が成り立つ。