[論文レビュー] Trace decategorification of categorified quantum sl(2)

Anna Beliakova, Kazuo Habiro+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Quantum Information and Cryptography被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、量子群 U*(sl(2)) のカテゴリフィケーションのトレース脱カテゴリフィケーションを提示し、特定の関係を持つ射影 E^{(a)}_{l^a}1_n によって生成されることを示している。主な結果は、分割の辞書順による変換公式を用いた、Tr(𝒰*) の基底の構成であり、これは自由アーベル群構造と関連し、ZU+(sl2[t]) との直接的な比較を可能にする。

ABSTRACT

The trace or the $0$th Hochschild--Mitchell homology of a linear category $\mathcal{C}$ may be regarded as a kind of decategorification of $\mathcal{C}$. We compute traces of the two versions $\dot{\mathcal{U}}$ and $\dot{\mathcal{U}}^*$ of categorified quantum $\mathfrak{sl}_2$ introduced by the third author. One version of the trace coincides with the split Grothendieck group $K_0(\dot{\mathcal{U}})$, which is known to be isomorphic to the the integral idempotented form $\dot{\mathbf{U}}(\mathfrak{sl}_2)$ of quantum $\mathfrak{sl}(2)$. The higher Hochschild--Mitchell homology in this case is zero. The trace of the second version is isomorphic to the idempotented integral form of the current algebra $\mathbf{U}(\mathfrak{sl}_2[t])$.

研究の動機と目的

• カテゴリフィケーションされた量子群 U*(sl(2)) のトレース脱カテゴリフィケーション Tr(𝒰*)+ の提示を提供すること。
• Tr(𝒰*)+(n,m) に対する基底を確立し、既知の ZU+(sl2[t]) の基底との直接比較を可能にすること。
• 2 つの基底の関係を特定すること：1 つは分割 λ ∈ P(a) によって添字づけられ、もう 1 つは l1 > l2 > ... > lp ≥ 0 を満たす E^{(ai)}_{li} の合成によって添字づけられる。

提案手法

• 整数分割の辞書順を用いて、Tr(𝒰*)+(n,m) 内の基底要素を比較する。
• 補題 9.6 を応用し、E^{(a)}_{ja}E^{(b)}_λ1_n から E^{(a+b)}_{ja∪λ}1_n への基底変換における主要項を計算する。
• 展開における主要項を、辞書順で ja∪λ より小さい τ についての和として導出する。
• 生成子 E^{(a)}_{l^a}1_n と関係式 (9.3)、(9.4)、(9.7) を用いて、(Tr𝒰*)+ の提示を証明する。
• a と λ についての辞書順での帰納的証明により、任意の E^{(a)}_λ1_n が、l が減少する E^{(i)}_{li}1_n の合成の ℤ-線形結合であることを示す。
• カテゴリフィケーションされた量子群の構造、特に函手 ∧a,b と構造定数 Nν^{τ,λ} を用いて、射の合成を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリフィケーションされた量子群 U*(sl(2)) のトレース脱カテゴリフィケーション Tr(𝒰*)+ を、明示的な生成子と関係式でどのように提示できるか？
• RQ2 整数 n, m に対して、射の空間 Tr(𝒰*)+(n,m) の構造は何か？ また、その基底はどのように与えられるか？
• RQ3 分割 λ ∈ P(a) によって添字づけられる基底と、l1 > l2 > ... > lp ≥ 0 を満たす E^{(ai)}_{li} の合成によって作られる基底との関係は何か？
• RQ4 E^{(a)}_{ja}E^{(b)}_λ1_n から E^{(a+b)}_{ja∪λ}1_n への基底変換における主要項は何か？ また、それはどのように辞書順によって制御されるか？
• RQ5 射の空間 Tr(𝒰*)+(n,m) が自由アーベル群であり、ZU+(sl2[t]) との比較を容易にする基底を持つことを示せるか？

主な発見

• m - n = 2a のとき、Tr(𝒰*)+(n,m) は自由アーベル群であり、基底 {E^{(a)}_λ1_n | λ ∈ P(a)} を持つ。
• E^{(a)}_{ja}E^{(b)}_λ1_n から E^{(a+b)}_{ja∪λ}1_n への基底変換において、主要項は E^{(a+b)}_{ja∪λ}1_n であり、それより低い項は辞書順で ja∪λ より小さい τ によって添字づけられる。
• 射の空間 (Tr𝒰*)+ は、a, l ≥ 0 および n ∈ ℤ に対して、生成子 E^{(a)}_{l^a}1_n と関係式 (9.3)、(9.4)、(9.7) によって生成される。
• 関係式 (9.7) により、二項係数が得られる：E^{(a)}_{l^a}E^{(b)}_{l^b}1_n = (a+b choose a) E^{(a+b)}_{l^{a+b}}1_n。
• 帰納的証明により、任意の E^{(a)}_λ1_n が、l が減少する E^{(i)}_{li}1_n の合成の ℤ-線形結合として表せることを示した。この証明には分割の辞書順が用いられた。
• 展開における構造定数には、係数 Nν^{τ,λ} と函手 ∧a,b が関与しており、これらはカテゴリフィケーションされた設定におけるテンソル積の分解を制御する。