[論文レビュー] Trace formulae for Schrodinger operators on metric graphs with applications to recovering matching conditions

Yulia Yu. Ershova, Alexander V. Kiselev|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、δ型の整合条件を満たす有限なコンパクトな測度的グラフ上のシュレーディンガー作用素について、Weyl-Titchmarsh M関数の漸近展開を用いてトレース公式を導出する。2つの作用素のスペクトル（重複度を含む）が同一であるならば、それらの結合定数も等しいことが示され、スペクトルデータからの整合条件の復元の一意性を保証する。

ABSTRACT

The paper is a continuation of the study started in \cite{Yorzh1}. Schrodinger operators on finite compact metric graphs are considered under the assumption that the matching conditions at the graph vertices are of $δ$ type. Either an infinite series of trace formulae (provided that edge potentials are infinitely smooth) or a finite number of such formulae (in the cases of $L_1$ and $C^M$ edge potentials) are obtained which link together two different quantum graphs under the assumption that their spectra coincide. Applications are given to the problem of recovering matching conditions for a quantum graph based on its spectrum.

研究の動機と目的

• 量子グラフのスペクトルから整合条件を回復する逆スペクトル問題に取り組む。
• 従来のグラフラプラシアンに関する結果を、一般のエッジポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素へと拡張する。
• 同じグラフ上に定義された2つのシュレーディンガー作用素のスペクトルが一致する場合に、それらを結ぶトレース公式を確立する。
• エッジポテンシャルの滑らかさが、同一スペクトルを持つ2つの作用素を結ぶ利用可能なトレース公式の数に与える影響を調査する。
• δ型の整合条件に対して、スペクトルの同値性のもとで結合定数の一意性を証明する。

提案手法

• 測度的グラフ上のシュレーディンガー作用素に対して境界三重項および一般化されたWeyl-Titchmarsh M関数の理論を用いる。
• M関数のマイナス無限大における漸近展開を導出し、C^MまたはL1のポテンシャルに対しては、M次の項までスペクトル情報を捉える。
• 同一スペクトルを持つ2つの作用素について、M関数の行列式の対数展開を等置することでトレース公式を構成する。
• M関数の漸近展開の最初の2項がエッジポテンシャルに依存しないという事実に依拠し、結合定数の依存性を分離する。
• δ型およびδ′型の両方の整合条件にこの手法を適用し、後者は類似の方法で処理する。
• 行列式比の対数の漸近展開における係数の消滅を利用して、トレース恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジポテンシャルが滑らかでない場合においても、δ型整合条件を満たす測度的グラフ上のシュレーディンガー作用素に対してトレース公式を導出可能か？
• RQ2 エッジポテンシャルの滑らかさが、同一スペクトルを持つ2つの作用素を結ぶ利用可能なトレース公式の数に与える影響は何か？
• RQ3 有限な測度的グラフ上のシュレーディンガー作用素のスペクトルから、頂点における結合定数を一意に回復することは可能か？
• RQ4 M関数の漸近挙動が、エッジポテンシャルに依存しない形で整合条件の情報をどのように符号化するか？
• RQ5 境界三重項およびM関数の漸近挙動に基づくアプローチを、δ′型整合条件へと同様の一意性結果が得られるように拡張可能か？

主な発見

• 無限に滑らかなエッジポテンシャルに対しては、スペクトルが一致する2つのシュレーディンガー作用素を結ぶ無限個のトレース公式が導出される。
• L1またはC^Mのエッジポテンシャルに対しては、有限個のトレース公式しか得られず、その数はポテンシャルの滑らかさに応じて増加する。
• 最初のトレース公式（s=1）は、結合定数による重み付けを施した頂点次数の和に帰着され、グラフラプラシアンの結果と一致する。
• すべての頂点で結合定数が等しい場合、スペクトルの一致は結合定数の一致を意味する：σ(A_α̃) = σ(A_α) ならば α̃ = α である。
• 2つの作用素のエッジポテンシャルが異なる場合でも、この結果は成り立つ。なぜなら、M関数の漸近展開の最初の2項がポテンシャルに依存しないからである。
• δ′型整合条件に対しても同様の一意性結果が確立され、同じ仮定のもとで、同一スペクトルは結合定数の一致を意味する。