[論文レビュー] Trace formulas for Schrödinger operators from the view point of complex analysis

Hiroshi Isozaki, Evgeny Korotyaev|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素解析的手法を用いて、短距離ポテンシャルを伴う3次元シュレーディンガー作用素の新しいトレース公式を開発する。リゾルベントに関連する積分作用素の修正フロベニウス行列式を分析することで、ポテンシャルのモーメントを固有値および共振状態の言いかえで表現するトレース公式を導出し、散乱位相およびディリクレ積分との関係を確立する。これにより、スペクトル不変量の厳密な解析的枠組みが提供される。

ABSTRACT

We consider the Schr{ö}dinger operator $-Δ+V(x)$ in $L^2({\bf R}^3)$ with a real short-range (integrable) potential $V$. Using the associated Fredholm determinant, we present new trace formulas, in particular, the ones in terms of resonances and eigenvalues only. We also derive expressions of the Dirichlet integral, and the scattering phase. The proof is based on the change of view points for the above mentioned problems from the operator theory to the complex analytic (entire) function theory.

研究の動機と目的

• 実短距離ポテンシャルを伴う $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のシュレーディンガー作用素に対して、複素解析的手法を用いて新しいトレース公式を導出すること。
• ポテンシャル $V(x)$ のモーメント、特に $\int V$、$\int V^2$、および $\int (|\nabla V|^2 + 2V^3)$ を固有値および共振状態で表現すること。
• 修正フロベニウス行列式 $D(k)$ と散乱位相 $\phi_{sc}(k)$ の間の関係を、ビルマン＝クラインの恒等式を用いて確立すること。
• 有界な上半平面で正則で有界な整関数が得られるように、発散する行列式 $\det(I + VR_0(k))$ をブラシケ積分を用いて正則化すること。
• 正則化された行列式 $\log D_B(k)$ の漸近展開を、ポテンシャルのモーメントおよび共振状態の寄与の項として厳密に得ること。

提案手法

• 自由リゾルベント $R_0$ を用いて、$k \in \overline{\mathbb{C}_+}$ に対して $Q_0(k) = |V|^{1/2} R_0(k^2) \tilde{V}^{1/2}$ を定義し、修正フロベニウス行列式 $D(k) = \det[(I + Q_0(k))e^{-Q_0(k)}]$ を導入する。
• 束縛状態に対応する $D(k)$ のゼロを取り除くためにブラシケ積分 $B(k)$ を導入し、$D_B(k) = D(k)/B(k)$ を得る。この $D_B(k)$ は $\mathbb{C}_+$ で正則かつ有界である。
• 複素解析の道具を用いる——特に $|k| \to \infty$ における $\log D_B(k)$ の漸近展開——により、ローレンツ級数の係数からモーメント $\alpha_n = \int V^n dx$ を抽出する。
• 積分による部分積分および定常位相型推定を、$Q_0^n(k)$ のトレースから生じる振動的積分に適用し、収束性および漸近的制御を保証する。
• ビルマン＝クラインの公式から導かれる恒等式 $\phi_{sc}(k) = k\alpha_{-1} + \arg D(k)$ を用いて、散乱位相 $\phi_{sc}(k)$ を $\arg D(k)$ と関連付ける。
• ハーディー空間における $\log D_B(k)$ の正則性および減衰性を用いて、正則化された行列式を一意に特徴付け、トレース公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元シュレーディンガー作用素において、固有値および共振状態といったスペクトルデータから、ポテンシャル $V(x)$ のモーメントをどのように回復できるか？
• RQ2 修正フロベニウス行列式 $D(k)$ が、スペクトルデータとポテンシャル積分を結ぶ際に果たす正確な役割は何か？
• RQ3 特にブラシケ積分によるゼロの除去を経て、$D(k)$ の複素解析的構造がどのようにトレース公式の導出を可能にするか？
• RQ4 散乱位相 $\phi_{sc}(k)$ は、$D(k)$ の偏角を通じて、ポテンシャルの $L^1$ 範囲および $L^2$ 範囲の情報をどのように符号化するか？
• RQ5 $|k| \to \infty$ における $\log D_B(k)$ の漸近的挙動は何か？ そして、その展開が係数 $\alpha_n$ をどのように得るか？

主な発見

• 最初のトレース公式は、$\log D(k)$ の漸近展開から得られ、$\alpha_{-1} = \frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3} V(x) dx$ として、ポテンシャルの $L^1$-ノルムを表す。
• 2番目のトレース公式は、$-i\log D(k)$ の展開における $k^{-1}$ 項の係数として、$\alpha_0 = \frac{1}{(4\pi)^2} \int_{\mathbb{R}^3} V^2(x) dx$ を与える。
• 3番目のトレース公式は、$-i\log D(k)$ の $k^{-3}$ 項から得られ、$\alpha_1 = \frac{1}{3(4\pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} (|\nabla V(x)|^2 + 2V^3(x)) dx$ を与える。
• 散乱位相は $\phi_{sc}(k) = k\alpha_{-1} + \arg D(k)$ を満たし、位相がポテンシャルの $L^1$-ノルムおよび行列式の偏角と関連していることを示す。
• ディリクレ積分は $\frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla V(x)|^2 dx = \frac{1}{12\pi} \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla V(x)|^2 dx$ として表され、$Q_0^2(k)$ のトレースの2階微分を $k=0$ で評価することで導出される。
• 関数 $\varphi(k) = -\frac{i}{3} \operatorname{Tr} Q_0^3(k)$ の漸近展開は $\varphi(k) = -\frac{\alpha_1^0}{k^3} + O(k^{-4})$ を与え、$\alpha_1^0 = \frac{2}{3(4\pi)^3} \int V^3(x) dx$ である。これは $\alpha_1$ のトレース公式と整合的であることを確認する。