[論文レビュー] Trace of canonical modules, annihilator of Ext, and classes of rings close to being Gorenstein

Hailong Dao, Toshinori Kobayashi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特にGorensteinに類似した性質と関連付けて、正則モジュールのトレースイデアルを、Extモジュールの零化因子を用いて新たな特徴づけを確立する。特に、次元1におけるalmost Gorenstein環の一般化として、弱いalmost Gorenstein環を導入し、特定の条件下でregular sequenceによる剰余環において nearly Gorenstein環が保存されることを証明する。これにより、タイプ2環に対するTachikawa予想の新しい形が提示される。

ABSTRACT

In this note we study trace ideals of canonical modules. Characterizations of the trace ideals in terms of annihilators of certain Ext modules are given. We apply our results to study many classes of rings close to being Gorenstein that appear in recent literature. We discuss the behavior of nearly Gorensteinness, introduced by Herzog-Hibi-Stamate, under reductions by regular sequences. A nearly Gorenstein version of the Tachikawa conjecture is posed, and an affirmative answer given for type 2 rings. We also introduce the class of weakly almost Gorenstein rings using the canonical module, and show that they are almost Gorenstein rings in dimension one, and are closely related to Teter rings in the artinian case. We explain their basic properties and give some examples.

研究の動機と目的

• 正則モジュールのトレースイデアルを、Extモジュールの零化因子を用いて特徴づけること。
• Gorensteinに近い環、特にnearly Gorenstein環およびalmost Gorenstein環を研究すること。
• regular sequenceによる剰余において、nearly Gorensteinおよび弱いalmost Gorenstein性がどのように振る舞うかを調査すること。
• nearly Gorenstein版のTachikawa予想を提示し、部分的に解決すること。
• Artin環の場合における弱いalmost Gorenstein環とTeter環との関係を探索すること。

提案手法

• Cohen–Macaulay局域環におけるExtモジュールと正則モジュールの関係を、トレースイデアルと零化因子の技法を用いて確立する。
• 正則モジュールの転置を用いて、特異点付きスペクトル上でGorensteinである場合の新しい零化因子の恒等式を導出する。
• 正則モジュールと剰余体を含む完全系列を用いて、弱いalmost Gorenstein環のクラスを定義する。
• 極小部分環と正則双対の構造を用いて、弱いalmost Gorenstein Artin環を特徴づける。
• $\mathfrak{n}I \subseteq J \subseteq I$ を満たす理想を用いた、べき級数環の商としての例を構成する。ただし、$S/I$ はGorensteinである。
• BurchイデアルおよびKoszulホモロジーに関する結果を活用し、特定の状況下で弱いalmost Gorenstein性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則モジュールのトレースイデアルは、どのようにExtモジュールの零化因子を用いて特徴づけられるか？
• RQ2 regular sequenceによる剰余において、nearly Gorenstein性がどのような条件下で保存されるか？
• RQ3 次元1における弱いalmost Gorenstein環とalmost Gorenstein環の関係は何か？
• RQ4 Artin環における弱いalmost Gorenstein環は、Teter環および自己正則双対イデアルとどのように関係するか？
• RQ5 タイプ2環に対して、nearly Gorenstein版のTachikawa予想を定式化し、検証することは可能か？

主な発見

• Cohen–Macaulay局域環に正則モジュールが存在するとき、$\operatorname{tr}\omega = \operatorname{ann}\operatorname{Ext}^{>0}_R(\omega, \operatorname{mod}R)$ および $\operatorname{tr}\omega = \operatorname{ann}\operatorname{Ext}^1_R(\operatorname{CM}(R), R)$ が成り立つ。
• もし $R$ が特異点付きスペクトル上でGorensteinならば、$\operatorname{tr}\omega = \operatorname{ann}\operatorname{Ext}^{d+1}_R(\operatorname{Tr}\omega, R)$ が成り立ち、ここで $\operatorname{Tr}\omega$ は $\omega$ の転置である。
• Cohen–Macaulay局域環がnearly Gorensteinであるための必要十分条件は、任意のregular sequence $\underline{x}$ に対して $R/(\underline{x})$ がnearly Gorensteinであること、または $\mathfrak{m}^2$ や $\operatorname{tr}\omega$ に含まれるregular sequenceに対して同様に成り立つことである。
• 次元1において、almost Gorenstein環は弱いalmost Gorenstein環と一致し、$\mathfrak{m}$ や $\mathfrak{m}^2$ に含まれるregular要素による剰余でも性質が保存される。
• Artin環において、弱いalmost Gorenstein性は、$R/\operatorname{soc}R$ がTeterであること、または最大イデアルが自己正則双対であることと同値である。
• 多くの弱いalmost Gorenstein環は、$S$ をべき級数環、$I \subseteq \mathfrak{n}^2$、$S/I$ がGorensteinであり、$\mathfrak{n}I \subseteq J \subseteq I$ を満たすような $J$ を用いて $S/J$ の形で得られる。