[論文レビュー] Trace theories, Bokstedt periodicity and Bott periodicity

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、トレース理論と安定化を介して、位相的ホッフ・ホモロジー（THH）、ボクステッド周期性、ボット周期性を結びつける概念的枠組みを確立する。THH(A) が共周期的循環ホモロジーにおける共役フィルトレーションの零番目の項と同型であることを証明し、ボクステッド生成子 σ をボット周期性の生成子 u⁻¹ に特定し、ホッフ・ヴェットホモロジーを用いた THH の新たな代数的記述を提供する。

ABSTRACT

We flesh out the theory of "trace theories" and "trace functors" sketched in arXiv:1308.3743, extend it to a homotopical setting, and prove a reconstruction theorem claiming that a trace theory is completely determined by the associated trace functor. As an application, we consider Topological Hoshschild Homology $THH(A,M)$ of a algebra $A$ over a perfect field of positive characteristic, with coefficients in a bimodule $M$, and prove two comparison results. Firstly, we give a very simple algebraic model for THH in terms of Hochschild-Witt Homology WHH of arXiv:1604.01588 (and we also identify $TP(A)$ with the periodic version $WHP(A)$ of WHH). Secondly, we prove that $THH(A)$ is identified with the zero term of the conjugate filtration on the co-periodic cyclic homology $\overline{HP}(A)$ of arXiv:1509.08784, and the isomorphism sends the Bokstedt periodicity generator to the Bott periodicity generator. We also give an independent proof of Bokstedt periodicity that is somewhat shorter than the usual ones.

研究の動機と目的

• 位相的ホッフ・ホモロジーにおけるボクステッド周期性を、スペクトル系列の議論に依存せずに、概念的で代数的な方法により証明すること。
• THH と共周期的循環ホモロジーの間の比較を確立し、ボット周期性の生成子を同定すること。
• 任意の k-代数 A と双モジュール M に対して、THH(A,M) を Hochschild-Witt ホモロジー WHH(A,M) の言葉で記述すること。
• 共役フィルトレーションが THH と周期的循環ホモロジーを結ぶ役割を明確にすること。
• p-進ホッジ理論における「誤った全射化」の謎を解き明かし、それが THH に等しいことを示すこと。

提案手法

• トレース理論の理論を用いて、完全体 k に対して THH(A,M) の計算を THH(k,M) に還元する。
• 双モジュールおよびそのホモトピー圏上の函手的構成に、安定化と加法化の技術を適用する。
• 相対 Tate コホモロジーとスペクトル系列を用いて、THH と WHH のホモトピー群を分析する。
• φ: THH(k) → R なる環準同型を構成し、φ(σ) が冪零でないことを示し、k[σ] が THH(k) に埋め込まれることを証明する。
• 巡回的構造と巡回的トレースの切断を用いて、高度なスペクトル系列技術に依存せずに φ を定義する。
• 共役フィルトレーションを用い、THH から HH[σ] へのスペクトル系列と比較し、ボット周期性と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボクステッド周期性を、スペクトル系列の議論に依存せず、純粋に代数的で概念的な方法により THH で証明できるか？
• RQ2 THH(A) と共周期的循環ホモロジーにおける共役フィルトレーションの間には、直接的な代数的同型が存在するか？
• RQ3 k-代数上の双モジュールの文脈において、ホッフ・ヴェットホモロジー WHH と THH の関係は何か？
• RQ4 周期的ホモロジー理論において、ボクステッド生成子 σ とボット周期性生成子 u⁻¹ の正確な関係は何か？
• RQ5 p-進ホッジ理論における「誤った」全射化がなぜ THH に対応するのか、そして共役フィルトレーションによってどのように説明されるのか？

主な発見

• THH(A) は共周期的循環ホモロジーにおける共役フィルトレーションの零番目の項と自然同型である。すなわち、THH(A) ≅ V₀CP̄(A) が成り立つ。
• ボクステッド周期性生成子 σ ∈ THH(k) は、同型のもとでボット周期性生成子 u⁻¹ ∈ CP̄(A) にマッピングされる。ゆえに、THH(A) ⊗k[σ] k(σ,σ⁻¹) ≅ CP̄(A) が成り立つ。
• 任意の k-代数 A と A-双モジュール M に対して、THH(A,M) と WHH(A,M) の間には函手的同型が存在する。
• HH(A)[σ] から THH(A) へのスペクトル系列は、共役スペクトル系列と同型であり、正の特性における退化のパターンを説明する。
• φ(σ) が冪零でないような写像 φ: THH(k) → R を用いることで、k[σ] が THH(k) に埋め込まれることが証明され、次元の理由から THH(k) = k[σ] が導かれる。
• Tate コホモロジーを Tate コホモロジーではなく相対 Tate コホモロジーに置き換えることで、すべての素数 p（p=2 を含む）に対して一様な証明が可能となり、以前の研究における技術的ギャップが解消される。