[論文レビュー] Traces for fractional Sobolev spaces with variable exponents

Leandro Martin del Pezzo, Julio D. Rossi|Americanae (AECID Library)|Apr 9, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、変動指数をもつ分数階ソボレフ空間に対してトレース定理を確立し、$ W^{s,p(\bullet,\bullet)}(\bar{\Omega}) $ に属する関数が、$ \frac{(n-1)p(x,x)}{n - s p(x,x)} > q(x) $ が $ \partial\Omega \cap \{x : n - s p(x,x) > 0\} $ 上で成り立つ限り、$ L^{q(\bullet)}(\pi\Omega) $ に連続的かつコンパクトに埋め込まれることを証明する。この結果は、新しい変動指数のセミノルムおよびノルム空間の枠組みを用いて、古典的ソボレフトレース埋め込みを変動指数・分数階設定に拡張するものである。

ABSTRACT

In this note we prove a trace theorem in fractional spaces with variable exponents. To be more precise, we show that if $p\colon\overlineΩ imes \overlineΩ o (1,\infty)$ and $q:\partial Ω ightarrow (1,\infty)$ are continuous functions such that \[ \frac{(n-1)p(x,x)}{n-sp(x,x)}>q(x) \qquad \mbox{in} \partial Ω\cap \{x\in\overlineΩ\colon n-sp(x,x) >0\}, \] then the inequality $$ \Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{q(\cdot)}(\partial Ω)} \leq C \left\{\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{\bar{p}(\cdot)}(Ω)}+ [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} ight\} $$ holds. Here $\bar{p}(x)=p(x,x)$ and $\lbrack f brack_{s,p(\cdot,\cdot)} $ denotes the fractional seminorm with variable exponent, that is given by \[ \lbrack f brack_{s,p(\cdot,\cdot)} := \inf \left\{λ>0\colon \int_Ω\int_Ω\frac{|f(x)-f(y)|^{p(x,y)}}{λ^{p(x,y)} |x-y|^{n+sp(x,y)}}dxdy<1 ight\} \] and $\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{q(\cdot)}(\partial Ω)}$ and $\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{\bar{p}(\cdot)}(Ω)}$ are the usual Lebesgue norms with variable exponent.

研究の動機と目的

• 有界で滑らかな領域における変動指数をもつ分数階ソボレフ空間のトレース埋め込み定理を確立すること。
• 指数 $ p $ が $ \overline{\Omega} \times \overline{\Omega} $ 上で連続関数である場合、および境界 $ \partial\Omega $ 上で変動指数 $ q $ をもつトレース空間を考慮した場合に、古典的ソボレフトレース埋め込みを一般化すること。
• 条件 $ \frac{(n-1)p(x,x)}{n - s p(x,x)} > q(x) $ の下で、埋め込み $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ が連続的かつコンパクトであることを証明すること。

提案手法

• 変動指数 $ p(x,y) $ をもつ非局所セミノルムを用いて、変動指数分数階ソボレフ空間 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $ を定義する。具体的には、$ [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} = \inf\left\{ \lambda > 0 : \iint_{\Omega \times \Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^{p(x,y)}}{\lambda^{p(x,y)} |x-y|^{n + s p(x,y)}} \, dx\,dy < 1 \right\} $ で与えられる。
• 変動指数ルベーグノルム $ \|f\|_{L^{\bar{p}(\cdot)}(\Omega)} $ および $ \|f\|_{L^{q(\cdot)}(\partial\Omega)} $ を導入し、$ \bar{p}(x) = p(x,x) $ とする。
• 境界上でのトレース不等式 $ \|f\|_{L^{q(\cdot)}(\partial\Omega)} \leq C \left( \|f\|_{L^{\bar{p}(\cdot)}(\Omega)} + [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} \right) $ を、条件 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ が $ \partial\Omega \cap \{x : n - s \bar{p}(x) > 0\} $ 上で成り立つ場合に確立する。
• Partition of unity を用い、定数指数分数階ソボレフ空間への局所近似を用いて、埋め込みのコンパクト性を証明する。
• 変動指数 $ p(\cdot) $-ラプラシアンとノイマン型境界項を含む変分問題にこの結果を適用し、トレース埋め込みを用いて強制性と一意最小化子の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変動指数 $ p(x,y) $ および $ q(x) $ がどのような条件下で、トレース作用素が $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $ を $ L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ に連続的に写像するか？
• RQ2 変動指数設定における臨界トレース指数 $ p^*(x) = \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} $ と境界指数 $ q(x) $ の関係は何か？
• RQ3 古典的ソボレフトレース埋め込み結果を、非定数 $ p(x,y) $ をもつ分数階・変動指数ソボレフ空間に拡張できるか？
• RQ4 同じ指数条件の下で、$ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $ から $ L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ へのトレース埋め込みはコンパクトか？
• RQ5 このトレース結果を用いて、変動指数・非局所作用素を含む境界値問題の解の存在を証明できるか？

主な発見

• 条件 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ が $ \partial\Omega \cap \{x : n - s \bar{p}(x) > 0\} $ 上ですべての $ x $ に対して成り立つ限り、埋め込み $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ は連続的であり、定数 $ C = C(n,s,p,q,\Omega) $ が関数 $ f $ に依存しない。
• 埋め込みはコンパクトである。これは連続性を上回る強化であり、変分法への応用を可能にする。
• 条件 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ は、変動指数・分数階設定における古典的臨界ソボレフ指数条件を一般化する。
• わずかに緩い条件のもとでも結果は有効である：$ p $ および $ q $ が連続ではなく可測関数であっても、ある $ \varepsilon > 0 $ に対して $ p^*(x) - \varepsilon > q(x) $ が成り立つ限り成立する。
• トレース定理は、$ p(\cdot) $-ラプラシアンとノイマン型境界項を含む非局所的・変動指数関数 functional に対する最小化子の存在および一意性を証明するために応用された。
• 強制性はトレース埋め込みを用いて確立され、$ \|u\|_{s,p(\cdot,\cdot)} \to \infty $ のとき $ G(u) \to \infty $ となることが示され、直接的変分法の適用が可能になる。