[論文レビュー] Traces of CM values of modular functions and related topics

Jan Hendrik Bruinier|ArXiv.org|Oct 14, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、theta lift構成を用いて、任意の genus のモジュラー曲線へのZagierのCM値のトレース理論を一般化する。このトレースの生成関数が重さ3/2のメロモーレックモジュラー形式であることを確立し、判別式が大きくなる極限において、トレースが削減された二次形式の和でよく近似されることを示す漸近公式を証明する。誤差項は−24に収束する。

ABSTRACT

The purpose of this note is to report on recent joint work with J. Funke, P. Jenkins, and K. Ono on the traces of CM values of modular functions and some applications.

研究の動機と目的

• genus 0 から任意のgenus のモジュラー曲線へ、Zagierの特異モジュラーのトレースに関する結果を拡張すること。
• Γ(1) 上のモジュラー関数からΓ₀(4) 上の重さ3/2のモジュラー形式へのtheta lift構成を確立すること。
• モジュラー関数のCM値のトレースに関する正確および漸近的公式を導出すること。
• これらのトレースの生成関数の算術的および幾何的意味を分析すること。
• トレース公式をスペクトル理論およびAtkin関数によるCM点の等分布と結びつけること。

提案手法

• Kudla-Millsonのthetaカーネルを用いて、モジュラー関数に極があるにもかかわらず絶対収束するtheta積分を定義する。
• theta liftを適用して、重さ0のモジュラー関数（例：J(τ) = j(τ) − 744）をΓ₀(4) 上の重さ3/2のモジュラー形式へ写像する。
• Serre双対性とHecke和を用いて、古典的に収束しない場合でも重さ3/2のPoincaré級数を定義する。
• Kohnigen射影作用素を適用してプラス部分空間へ制限し、Shimura liftの枠組みと整合性を保つ。
• スペクトル理論とリゾルベント核を用いてPoincaré級数を解析接続し、フーリエ展開を計算する。
• CM点の等分布およびL関数の評価を用いて、トレースの漸近的推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー関数のCM値のトレースの生成関数は、重さ3/2のメロモーレックモジュラー形式として記述可能か？
• RQ2 theta lift構成は、Zagierの元々の結果をgenus 0 のモジュラー曲線を超えてどのように拡張するか？
• RQ3 判別式Dが∞に近づく際、CM値のトレースの漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 トレースはどの程度、虚部 > 1 の削減された二次形式の和で近似可能か？
• RQ5 Atkin関数は、基本領域上でモジュラー関数の平均値を正則化するために果たす役割は何か？

主な発見

• J(τ) のCM値のトレースの生成関数は、Γ₀(4) に対して重さ3/2のメロモーレックモジュラー形式であり、g(τ) = η(τ)²E₄(4τ)/(η(2τ)η(4τ)⁶) として明示的に与えられる。
• D → ∞ のとき、任意のc > 1/2 に対して、t_J(D) = (−1)^D e^{π√D} + O(e^{cπ√D}) が成り立つ。
• トレース t_J(D) は、虚部 > 1 である削減された二次形式の和で漸近的に近似可能であり、その差は−24に収束する。
• lim_{D→∞} (1/H(D)) (t_J(D) − ∑_{Q∈Q_D^{red}, Im(α_Q)>1} e(−α_Q)) = −24 が成り立つ。ここで H(D) は類数である。
• この極限は、基本領域上でのJ(z) の正則化平均として知られるAtkin関数として生じる。
• この結果は、適切な修正を施したすべての弱ホロモーフィックモジュラー関数 f ∈ M₀!(Γ(1)) へ一般化可能である。