[論文レビュー] Traces of functions of bounded A-variation and variational problems with linear growth

Dominic Breit, Lars Diening+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、定数係数をもつ一階線形微分作用素 $A$ に対して、有界 $A$-変動関数の空間 $BV^A(\Omega)$ を導入する。$L^1(\partial\Omega)$-トレースが存在するための必要十分条件が $A$ が $C$-楕円型であることであることを示し、$BV$ および $BD$ 空間における既存の結果を一般化し、線形成長を示す擬凸変分問題の最小化子の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the space $BV^{A}(\\Omega)$ of functions of bounded $A$-variation. For a given first order linear homogeneous differential operator with constant coefficients $A$, this is the space of $L^1$--functions $u:\\Omega\ ightarrow R^N$ such that the distributional differential expression $A u$ is a finite (vectorial) Radon measure. We show that for Lipschitz domains $\\Omega\\subset R^{n}$, $BV^{A}(\\Omega)$--functions have an $L^1(\\partial\\Omega)$--trace if and only if $A$ is $C$-elliptic (or, equivalently, if the kernel of $A$ is finite dimensional). The existence of an $L^1(\\partial\\Omega)$--trace was previously only known for the special cases that $A u$ coincides either with the full or the symmetric gradient of the function $u$ (and hence covered the special cases $BV$ or $BD$). As an application we study quasiconvex variational functionals with linear growth depending on $A u$ and show the existence of a minimiser in $BV^{A}(\\Omega)$.

研究の動機と目的

• 有界 $A$-変動関数のトレース理論を、全勾配および対称勾配の特殊ケースを超えて展開すること。
• リプシッツ境界を持つ領域 $\Omega$ において、$BV^A(\Omega)$-関数が $L^1(\partial\Omega)$-トレースをもつための条件を特定すること。
• 線形成長を示す擬凸変分問題に対して、$BV^A$ フレームワーク内での最小化子の存在を確立すること。
• $BV$ および $BD$ 空間における既知のトレースおよび最小化子の存在に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 関数 $u: \Omega \to \mathbb{R}^N$ が $L^1$-可積分であり、かつ $Au$ が有限ベクトル値レドン測度であるような関数の集合として、空間 $BV^A(\Omega)$ を定義する。
• 同次微分作用素の理論と $C$-楕円型の概念を用いて、作用素 $A$ の構造を特徴付ける。
• リプシッツ境界におけるレドン測度およびトレース作用素の理論を応用し、$L^1(\partial\Omega)$-トレースが存在するための必要十分条件を導出する。
• $BV^A(\Omega)$ 内でのコンパクトネスおよび下方連続性の議論を用いて、線形成長を示す擬凸汎関数の最小化子の存在を証明する。
• $C$-楕円型と $A$ の核が有限次元であることの同値性を用いて、解析的性質とトレースの存在を結びつける。
• $A$-楕円型の構造を活用し、$BV$ および $BD$ 空間における既知の結果を一般 $BV^A$ 框組みに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $u \in BV^A(\Omega)$ が $L^1(\partial\Omega)$-トレースをもつための条件は何か？
• RQ2 $A$ の $C$-楕円型性は、$BV^A(\Omega)$ 内でのトレースの存在とどのように関係するか？
• RQ3 線形成長を示す擬凸変分問題に対して、$BV^A$ 空間内での最小化子の存在をどのように確立できるか？
• RQ4 $BV$ および $BD$ 空間における古典的結果が、より広範な $BV^A$ フレームワークへどの程度一般化できるか？
• RQ5 $A$ の核が $BV^A$ 関数のトレース特性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $BV^A(\Omega)$-関数に対して $L^1(\partial\Omega)$-トレースが存在するための必要十分条件は、作用素 $A$ が $C$-楕円型であることである。
• $C$-楕円型性は、$A$ の核が有限次元であることと同値であり、これにより構造的特徴づけが得られる。
• このトレース結果は、$Au$ が全勾配または対称勾配に対応する $BV$ および $BD$ 空間における既存の結果を一般化する。
• 線形成長を示す擬凸変分汎関数に対して、$BV^A(\Omega)$ 内で最小化子の存在が確立される。
• 証明は、$BV^A(\Omega)$ 内でのコンパクトネスおよび弱*収束下での汎関数の下半連続性に依拠している。
• 本フレームワークは、一般の微分作用素に関する有界変動関数空間におけるトレース理論および最小化理論を統一的かつ拡張的に展開する。