[論文レビュー] Traces of intertwiners for quantum groups and difference equations, II

Pavel Etingof, Olivier Schiffmann+1 more|ArXiv.org|Jul 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子アフィン代数の交叉作用素のねじれ跡が、適切な正規化のもとで、Macdonald-Ruijsenaars、双対Macdonald-Ruijsenaars、量子Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (qKZB)、および双対qKZBの4つの差分方程式を満たすことを確立している。主な貢献は、有限次元量子群の既存結果を一般化し、図形自己同型を伴うアフィンの場合にまで拡張した表現論的導出であり、ねじれが自明な場合に重み交換に関して対称性が成り立つことを示している。

ABSTRACT

In this paper we study twisted traces of products of intertwining operators for quantum affine algebras. They are interesting special functions, depending on two weights lambda, mu, three scalar parameters q, omega, k, and spectral parameters z_1,...,z_N, which may be regarded as q-analogs of conformal blocks of the Wess-Zumino-Witten model on an elliptic curve. It is expected that in the rank 1 case they essentially coincide with the elliptic hypergeometric functions defined in math.QA/0110081. Our main result is that after a suitable renormalization the traces satisfy four systems of difference equations -- the Macdonald-Ruijsenaars equation, the q-Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation, and their dual versions. We also show that in the case when the twisting automorphism is trivial, the trace functions are symmetric under the permutation lambda mu, k omega. Thus, our results here generalize our previous results, dealing with the case q = 1 and the finite dimensional case.

研究の動機と目的

• 有限次元量子群の交叉作用素の跡の理論を、図形自己同型を伴う量子アフィン代数へ拡張すること。
• アフィン設定において、これらの跡関数のMacdonald-RuijsenaarsおよびqKZB差分方程式を導出すること。
• ねじれ自己同型が自明な場合に、跡関数が重みおよびパラメータの交換に関して対称であることを確立すること。
• 量子アフィン代数において、qKZB方程式とその双対の間の双対性を表現論的に証明すること。
• ランク1の場合に跡関数を楕円超幾何関数と関連づけ、既知の式（楕円qKZ方程式）と結びつけること。

提案手法

• 著者たちは、量子アフィン代数の有限次元モジュールのテンソル積間の交叉作用素の行列要素として、ねじれ跡関数を定義する。
• 図形自己同型に関連する動的R行列とねじれR行列を用いて、跡関数およびその変換性を構成する。
• 差分方程式の導出は、R行列の統合恒等式と、スペクトルパラメータおよび動的パラメータにおけるシフト作用素の作用に依存する。
• Macdonald-Ruijsenaars方程式は、動的パラメータλとμにおけるシフト作用素の作用、2次カルタン作用素、およびR行列恒等式を用いて導出される。
• qKZBおよび双対qKZB方程式は、跡関数のスペクトルパラメータシフトにおけるモノドロミー性質をR行列のバーディング関係を用いて分析することで得られる。
• 対称性の恒等式は、R行列の自己双対性およびモジュール双対性および自己同型の下での交叉作用素の構造を活用して証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アフィン代数の交叉作用素の跡は、適切な正規化のもとでMacdonald-RuijsenaarsおよびqKZB差分方程式を満たすか？
• RQ2 図形自己同型によるねじれの存在が、跡関数の対称性にどのように影響するか？
• RQ3 qKZB方程式とその双対の間の双対性は、アフィン量子群の設定において表現論から導出可能か？
• RQ4 sl(2)の場合に、跡関数と楕円超幾何関数の関係は何か？
• RQ5 sl(n)において巡回図形自己同型を伴う場合、跡関数はどのように振る舞い、どのような方程式を満たすか？

主な発見

• 適切な正規化のもとで、跡関数はシフト作用素の作用とR行列恒等式を用いて、Macdonald-Ruijsenaarsおよび双対Macdonald-Ruijsenaars方程式を満たすことが示された。
• 跡関数は、スペクトルパラメータシフトが作用素D^T_jおよびK^T_jによって制御される量子Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (qKZB)および双対qKZB方程式を満たす。
• ねじれ自己同型Tが自明な場合、跡関数は同時にλ ↔ μおよびk ↔ ωの交換に関して対称であり、有限次元の場合の一般化である。
• sl(2)の場合、跡関数は楕円曲面上の conformal block のqアナロジーであると予想され、正規化を除いて楕円超幾何関数と一致すると期待される。
• sl(n)において巡回図形自己同型を伴う場合、跡関数は動的パラメータλおよびμに依存せず、BelavinのR行列を用いた楕円qKZ方程式に簡約され、その双対はFelderのR行列が有限点で支配することを示した。