[論文レビュー] Traces of intertwining operators and Macdonald's polynomials

Alexander Kirillov|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 1995

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、リー代数の表現間の埋め込み作用素の一般化された特徴を、カルタン部分代数の要素の指数関数によるねじれ付き作用素のトレースとして定義する。この一般化された特徴が、A型のマクドナルド多項式を導き、表現論的手法を用いてそれらの対称性および内積の恒等式を導出する。また、WZW模型における相関関数および微分方程式（特に楕円型Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard方程式）とも関連付ける。

ABSTRACT

Let $Φ:V o V\otimes U$ be an intertwining operator between representations of a simple Lie algebra (quantum group, affine Lie algebra). We define its generalized character to be the following function on the Cartan subalgebra with values in $U$: $χ_Φ(h)=\Tr_V (Φe^h)$. These generalized characters are a rich source of special functions, possessing many interesting properties; for example, they are common eigenfunctions of a family of commuting differential (difference) operators. We show that the special functions that can be obtained this way include Macdonald's polynomials of type $A$, and this technique allows to prove inner product and symmetry identities for these polynomials (though proved earlier by other methods). Generalized characters for affine Lie algebras are closely related with so-called correlation functions on the torus in the Wess-Zumino-Witten (WZW) model of conformal field theory. We derive differential equations satisfied by these correlation functions (elliptic Knizhnik-Zamolodchikov, or Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations) and study their monodromies.

研究の動機と目的

• 埋め込み作用素の一般化された特徴を、カルタン部分代数上のトレース関数として定義し、表現空間値をとることを目的とする。
• これらの一般化された特徴を用いて、A型マクドナルド多項式を構成する表現論的枠組みを確立すること。
• Wess-Zumino-Witten模型における相関関数を記述する微分方程式（特に楕円型Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard方程式）を導出し、解析すること。
• トレース構成を用いてマクドナルド多項式の内積および対称性の恒等式を証明し、新たな表現論的証明を与えること。
• アフィンリー代数表現から生じる楕円型KZB方程式の解のモノドロミー性質を調査すること。

提案手法

• 埋め込み作用素 Φ: V → V⊗U の一般化された特徴を χΦ(h) = TrV(Φ e^h) として定義する。ここで h はカルタン部分代数に属する。
• これらの一般化された特徴作用する可換な微分（または差分）作用素の族を用い、その固有関数性を活用する。
• 表現論的構成を用いて、一般化された特徴とA型マクドナルドの対称多項式との対応関係を確立する。
• アフィンリー代数表現の一般化された特徴を、Wess-Zumino-Witten模型におけるトーラス上の相関関数に関連付ける。
• これらの相関関数が満たす微分方程式として、楕円型Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard（KZB）方程式を導出する。
• 埋め込み作用素および表現論の構造を用いて、KZB方程式の解のモノドロミーを解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 埋め込み作用素の一般化された特徴は、どのようにA型マクドナルド多項式を構成・特徴付けるか？
• RQ2 これらの一般化された特徴作用する微分または差分作用素は何か？ そのスペクトル的性質は？
• RQ3 アフィンリー代数表現の一般化された特徴は、Wess-Zumino-Witten模型における相関関数とどのように関係するか？
• RQ4 トーラス上のWZW模型における相関関数を記述する微分方程式系は何か？ そのモノドロミー構造は？
• RQ5 マクドナルド多項式の内積および対称性の恒等式は、一般化された特徴のトレース構成から導けるか？

主な発見

• 埋め込み作用素の一般化された特徴は、可換な微分（または差分）作用素の族の固有関数である。
• A型マクドナルドの対称多項式は、sl(n) の表現論において、埋め込み作用素の一般化された特徴として自然に現れる。
• 内積および対称性の恒等式は、トレース構成によって再現され、表現論的証明が得られる。
• トーラス上のWess-Zumino-Witten模型における相関関数は、楕円型Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard（KZB）方程式を満たす。
• KZB方程式の解のモノドロミーは、埋め込み作用素の表現論的構造によって決定される。
• 本稿では、著者および共同研究者による既存の研究を超えた、楕円型KZB方程式に関する新規な結果が提示されている。