[論文レビュー] Traces of Newton-Sobolev, Hajlasz-Sobolev and BV functions on metric spaces

Panu Lahti, Xining Li+1 more|ArXiv.org|Nov 1, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、倍加測度とPoincaré不等式を満たす測度空間上のNewton-Sobolev、Hajłasz-Sobolev、およびBV関数が、最小限の領域正則性のもとで同じ境界追跡空間を共有することを確立している。より滑らかな関数を構成することで境界値を保存する手法を用い、非正則領域や非-Ahlfors正則境界でさえ、3つの関数クラスの追跡空間が一致することを示しており、古典的結果を一般化された測度空間へと拡張している。

ABSTRACT

We study the boundary traces of Newton-Sobolev, Hajlasz-Sobolev, and BV (bounded variation) functions. Assuming less regularity of the domain than is usually done in the literature, we show that all of these function classes achieve the same "boundary values", which in particular implies that the trace spaces coincide provided that they exist. Many of our results seem to be new even in Euclidean spaces but we work in a more general complete metric space equipped with a doubling measure and supporting a Poincare inequality.

研究の動機と目的

• 最小限の領域正則性のもとで、測度空間上のBV、Newton-Sobolev、Hajłasz-Sobolev関数の境界追跡を調査すること。
• 追跡が存在する場合、より滑らかな関数がBV関数と同じ境界値を達成できるかどうかを特定すること。
• 同じ条件下で、3つの関数クラスの追跡空間が一致することを確立すること。
• ユークリッド空間からの古典的追跡結果を、非Ahlfors正則境界を含む一般化された測度空間へと拡張すること。
• 不規則な領域における異なる関数クラスの追跡および拡張問題を統一的に扱う枠組みを提供すること。

提案手法

• BVおよびNewton-Sobolev関数の近似技術を用い、境界挙動を保持するより滑らかな関数を構成する。
• 倍加測度と(1,1)-Poincaré不等式を満たす測度空間における既存および新規の近似結果を適用する。
• 近似関数が境界点を中心とする球上で一様に$L^q$収束することを示すことが、鍵となる手法である。
• 近似関数$v$が$\|v - u\|_{L^\infty(\Omega \setminus \Omega(r))} \to 0$を満たすように構成され、$r \to 0^+$のとき境界値が保存される。
• 非Ahlfors正則境界の場合は、dyadicノルムと重み付き測度を用いて追跡空間をBesov型空間$\mathcal{B}^\lambda_1(\mathbb{R})$として特徴付ける。
• 与えられた幾何的および測度論的仮定のもとで、$N^{1,1}(\Omega,\mu)$、$\mathrm{BV}(\Omega,\mu)$、および$M^{1,1}(\Omega,\mu)$の追跡空間が一致することを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 倍加測度とPoincaré不等式を満たす測度空間において、最小限の領域正則性のもとでNewton-Sobolev、Hajłasz-Sobolev、およびBV関数が同じ追跡空間を持つだろうか？
• RQ2 標準的な正則性が欠如する領域においても、与えられたBV関数と同じ境界値を達成できるより滑らかな関数を構成できるだろうか？
• RQ3 境界に非Ahlfors正則測度が乗っている場合、$N^{1,1}(\Omega,\mu)$および$\mathrm{BV}(\Omega,\mu)$の追跡空間は何か？
• RQ4 測度$\mu$が重み付きである場合、例えばMuckenhoupt $A_1$重みを用いる場合、追跡空間はどのように変化するか？
• RQ5 $M^{1,1}(\Omega,\mu)$の追跡空間は、境界上での$L^1$またはBesov型ノルムで特徴付けられるだろうか？

主な発見

• 任意の$u \in \mathrm{BV}(\Omega)$に対して、$v \in N^{1,1}(\Omega) \cap \mathrm{Lip}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$が存在し、すべての$x \in \partial\Omega$に対して、$r \to 0^+$のとき$\int_{B(x,r)\cap\Omega} |v - u|^{s/(s-1)} \, d\mu \to 0$が一様に成り立つ。ここで$s$は同次次元である。
• 任意の$u \in \mathrm{BV}(\Omega)$および$1 \leq q < \infty$に対して、$v \in N^{1,1}(\Omega)$が存在し、すべての$x \in \partial\Omega$に対して、$r \to 0^+$のとき$\int_{B(x,r)\cap\Omega} |v - u|^q \, d\mu \to 0$が一様に成り立つ。
• 任意の$\varepsilon > 0$に対して、$\mathcal{H}(S_v) < \varepsilon$を満たす$v \in \mathrm{SBV}(\Omega)$が存在し、$r \to 0^+$のとき$\|v - u\|_{L^\infty(\Omega \setminus \Omega(r))} \to 0$が成り立つ。
• 上半平面に重み$w_\lambda(x) = \log^\lambda(\max\{e, e/|x_2|\})$を適用した場合、$N^{1,1}(\mathbb{R}^2_+, \mu)$の追跡空間はBesov型空間$\mathcal{B}^\lambda_1(\mathbb{R})$に一致し、これは$\mathrm{BV}(\mathbb{R}^2_+, \mu)$および$M^{1,1}(\mathbb{R}^2_+, \mu)$の追跡空間とも一致する。
• ユークリッド領域にLebesgue測度が乗っている場合、$\mathrm{BV}(\Omega,\mu)$、$N^{1,1}(\Omega,\mu)$、$M^{1,1}(\Omega,\mu)$の追跡空間はすべて$L^1(\partial\Omega)$に一致し、古典的結果が回復される。
• 境界測度$\mathcal{H}$が$\sigma$-有限でもAhlfors正則でもない場合でさえ、3つの関数クラスの追跡空間は同一であり、重み付き半平面の例によって実証された。