[論文レビュー] Traces on operator ideals and arithmetic means

Victor Kaftal, Gary Weiss|ArXiv.org|Jul 22, 2007

Holomorphic and Operator Theory参考文献 29被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、分離可能なヒルベルト空間上の作用素的理想が支持できる独立なトレースの数を調査し、これが常に0、1、または無限大であることを証明する。無限大における算術平均操作（am-∞）およびソフト内部／補集合構成を用いて、トレースクラス的理想がスカラー倍を除き一意なトレースを支持するための条件を特定し、古典的および主理想を含む広範なクラスについて、その予想を解決する。

ABSTRACT

This article - a part of a multipaper project investigating arithmetic mean ideals - investigates the codimension of commutator spaces [I, B(H)] of operator ideals on a separable Hilbert space, i.e., ``How many traces can an ideal support?" We conjecture that the codimension can be only zero, one, or infinity. Using the arithmetic mean (am) operations on ideals introduced by Dykema, Figiel, Weiss, and Wodzicki, and the analogous am operations at infinity that we develop in this article, the conjecture is proven for all ideals not contained in the largest am-infinity stable ideal and not containing the smallest am-stable ideal. It is also proven for all soft-edged ideals (i.e., I= IK(H)) and all soft-complemented ideals (i.e., I= I/K(H)), which include many classical operator ideals. In the process, we prove that an ideal of trace class operators supports a unique trace (up to scalar multiples) if and only if it is am-infinity stable and that, for a principal ideal, am-infinity stability is equivalent to regularity at infinity of the sequence of s-numbers of the generator. Furthermore, we apply trace extension methods to two problems on elementary operators studied by V. Shulman and to Fuglede-Putnam type problems of the second author.

研究の動機と目的

• 作用素的理想における交換子空間 [I,B(H)] の可能な余次元を特定すること、特に独立なトレースの数が常に0、1、または∞であるかどうかを検証すること。
• 理想にちょうど1つのトレースを支持するための条件を特徴付けるために、無限大における算術平均（am-∞）操作を理想に導入・応用すること。
• 理想の構造とトレース行動の分析のためのツールとして、ソフト内部（seI）およびソフト補集合（scI）の操作を導入・研究すること。
• V. Shulmanが提示した2つの初等作用素に関する問題を解くために、トレース拡張技法を拡張すること。
• am-∞安定性がトレースクラス的理想においてトレースの一意性（スカラー倍を除き）を特徴づけることを証明し、特に無限大における正則性を用いて主理想についてもこれを検証すること。

提案手法

• 標準的な算術平均（am）操作の双対として、理想に無限大における算術平均（am-∞）操作を導入し、[13]の結果を無限大挙動に拡張する。
• 理想のソフト内部（seI）およびソフト補集合（scI）を定義し、理想構造とトレース行動の分析のための新たなツールとする。
• トレース拡張法を適用して、錐 (L₁ + [I,B(H)])⁺ が遺伝的（固体）であることを示し、有限ランク理想およびトレースクラス理想における既知の結果を一般化する。
• 単調なs-数列およびそのセザロ平均を用いてトレース行動を分析し、特に列 (ξ_a) と関連するノルムを通じて分析を進める。
• 単調な再配列 π と添字集合 Λ_n を用いた背理法により、商空間 I/[I,B(H)] 内のコセットの線形独立性を示す。
• 定理2.2の基準を適用：もし diag(ζ) ∈ [I,B(H)] ならば、ある ρ ∈ Σ(I) が存在して |(ζ_π)_a| ≤ ρ が成り立つ。これにより、トレースの包含関係が ρ/ξ_a の減衰と関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素的理想 I における交換子空間 [I,B(H)] の余次元は、0、1、または∞以外の値を取り得るか？
• RQ2 理想がスカラー倍を除きちょうど1つの非ゼロトレースを支持するための正確な条件は何か？
• RQ3 理想の am-∞ 安定性は、特にトレースクラス作用素の文脈において、トレースの一意性とどのように関係するか？
• RQ4 ソフト内部およびソフト補集合操作は、トレースの重複度に関する理想分類にどの程度寄与するか？
• RQ5 生成子のs-数にどのような条件が満たされると、主理想が一意なトレースを支持するか？

主な発見

• I における [I,B(H)] の余次元は、常に0、1、または∞であり、最大の am-∞ 安定理想に含まれない理想、最小の am-安定理想を含まない理想に対して、主な予想が確認された。
• トレースクラス作用素の理想は、スカラー倍を除き一意なトレースを支持するための必要十分条件が am-∞ 安定性である。
• 主理想の場合、am-∞ 安定性は生成子のs-数列の無限大における正則性に対応し、ポタータイプおよびファルガータイプの不等式を用いて特徴づけられる。
• 錐 (L₁ + [I,B(H)])⁺ は遺伝的（固体）であり、有限ランク理想 F における既知の結果が拡張された。
• 非summable な ξ ∈ Σ(I) と、ある m に対してすべての χ ∈ Σ(I) について (χ/ξ_a)_{m p_l} → 0 を満たす列 {p_l} が存在する場合、商空間 I/[I,B(H)] は無限大余次元を持つ。
• N ≥ 3 に対して、η^{(j)} が特定の成長と間隔を持つ列から構成されるとき、I/[I,B(H)] 内のコセット diag(η^{(j)}) + [I,B(H)] は線形独立であり、このような場合に無限大余次元が成立することを示した。