[論文レビュー] Track Layouts of Graphs

Vida Dujmović, Attila Pór+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2004

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、三次元グラフ描画の文脈において、グラフ描画の構造的モデルとしてのトラックレイアウトを導入し、形式化し、基礎理論を確立する。queue-number と track-number が線形的に関係することを証明し、有界な queue-number が有界な track-number を意味することを示す。また、外平面グラフおよび平面グラフの track-number に対してタイトな境界を提供し、平面グラフの新しい下界 7 を得る。

ABSTRACT

A \emph{$(k,t)$-track layout} of a graph $G$ consists of a (proper) vertex $t$-colouring of $G$, a total order of each vertex colour class, and a (non-proper) edge $k$-colouring such that between each pair of colour classes no two monochromatic edges cross. This structure has recently arisen in the study of three-dimensional graph drawings. This paper presents the beginnings of a theory of track layouts. First we determine the maximum number of edges in a $(k,t)$-track layout, and show how to colour the edges given fixed linear orderings of the vertex colour classes. We then describe methods for the manipulation of track layouts. For example, we show how to decrease the number of edge colours in a track layout at the expense of increasing the number of tracks, and vice versa. We then study the relationship between track layouts and other models of graph layout, namely stack and queue layouts, and geometric thickness. One of our principle results is that the queue-number and track-number of a graph are tied, in the sense that one is bounded by a function of the other. As corollaries we prove that acyclic chromatic number is bounded by both queue-number and stack-number. Finally we consider track layouts of planar graphs. While it is an open problem whether planar graphs have bounded track-number, we prove bounds on the track-number of outerplanar graphs, and give the best known lower bound on the track-number of planar graphs.

研究の動機と目的

• グラフのトラックレイアウトに関する形式的理論を確立すること、特に三次元グラフ描画の文脈において。
• トラックレイアウトと他のグラフレイアウトモデル（スタックおよびキューのレイアウトを含む）との関係を調査すること。
• 特に外平面グラフおよび平面グラフを含む特定のグラフ族の track-number に対するタイトな境界を同定すること。
• 特定のトラックレイアウト特性を持つグラフを認識する問題に関連する計算複雑性の問題を探索すること。

提案手法

• （k,t）-トラックレイアウトモデルを導入：頂点の t 色分け、各色クラスにおける全順序、および単色の X-交差を含まない k 種類の辺色分け。
• スパンが小さいトラックレイアウトをスパンが小さいレイアウトに変換するための「ラッピング補題」を発展。
• トラックレイアウトとキュー・レイアウトの間で双方向変換を確立し、queue-number と track-number が線形的に関係することを証明。
• 帰納的構成と幾何的埋め込みを用いて、外平面グラフおよび平面グラフの track-number に対する境界を導出。
• 極値的グラフ理論を用いて、（k,t）-トラックレイアウトにおける最大辺数を特定。
• 幾何的図形における不変量を用いて、グラフの再帰的構築中にトラックレイアウトの性質を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 （k,t）-トラックレイアウトにおける最大辺数は何か？
• RQ2 トラックレイアウトをどのように操作すれば、色数を減らす代わりにトラック数を増やし、逆に色数を増やす代わりにトラック数を減らせるか？
• RQ3 一般のグラフにおいて、track-number と queue-number（または stack-number）の関係は何か？
• RQ4 外平面グラフおよび平面グラフの track-number に対するタイトな境界は何か？
• RQ5 平面グラフの track-number は有界であるか？また、既知の最高の下界は何か？

主な発見

• グラフの queue-number と track-number は線形的に関係する：track-number は queue-number の関数によって有界であり、逆に queue-number は track-number の関数によって有界である。
• グラフの非巡回彩色数は、その queue-number および stack-number の両方によって有界である。
• 外平面グラフの track-number は最大で 4 であり、track-number がちょうど 4 である外平面グラフが存在する。
• 平面グラフの track-number は少なくとも 7 であり、以前の下界 6 よりも向上した。
• 不適切なトラックレイアウトでも、7 未満に抑えられない平面グラフが存在し、これは不適切なトラックレイアウトでも 7 未満に抑えられないことを示している。
• 2 トラックグラフはキャタピラーの森である。これは 2 トラックグラフの完全な特徴付けを提供する。