[論文レビュー] Tractability of Multi-Parametric Euler and Wiener Integrated Processes

Mikhail Lifshits, Anargyros Papageorgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 13被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、多パラメータのオイラー過程およびウィener過程の平均誤差近似における tractability の必要十分条件を確立し、オイラー過程では $\liminf_{k\to\infty} \frac{r_k}{\ln k} > \frac{1}{2\ln 3}$ が成り立つ場合に強い多項式 tractability が成立することを示している。一方、ウィナー過程では、ある $s > \frac{1}{2}$ に対して $\liminf_{k\to\infty} \frac{r_k}{k^s} > 0$ が成り立つ必要がある。結果として、滑らかさと固有値構造の違いにより、二つの過程における tractability の挙動に根本的な差が生じることが明らかになった。

ABSTRACT

We study average case approximation of Euler and Wiener integrated processes of d variables which are almost surely r_k-times continuously differentiable with respect to the k-th variable. Let n(h,d) denote the minimal number of continuous linear functionals which is needed to find an algorithm that uses n such functionals and whose average case error improves the average case error of the zero algorithm by a factor h. Strong polynomial tractability means that there are nonnegative numbers C and p such that n(h,d)< C h^{-p} for all d and 0 1/(2\ln 3), whereas it holds for the Wiener case iff liminf r_k/k^s > 0 for some s>1/2. Other types of tractability are also studied.

研究の動機と目的

• 多パラメータのオイラー過程およびウィナー過程の多変数近似が平均誤差設定において under 什么条件下で tractable になるかを特定すること。
• 特に強い多項式 tractability およびその他の tractability 基準に基づく、オイラー過程とウィナー過程の tractability 挙動を比較すること。
• 各変数に関する微分可能性を定義する滑らかさパラメータ $r_k$ が、情報複雑度 $n(\varepsilon,d)$ に与える影響を分析すること。
• 弱い、多項式的、強い多項式的、準多項式的 tractability のために $\{r_k\}$ に必要なおよび十分な条件を確立すること。

提案手法

• オイラー過程およびウィナー過程のそれぞれに対して、共分散核 $K_d^\textrm{\tiny E}$ および $K_d^\textrm{\tiny W}$ を持つゼロ平均ガウス測度を用いた平均誤差設定で分析が行われた。
• 情報複雑度 $n(\varepsilon,d)$ は、ゼロアルゴリズムの初期誤差から平均誤差を要因 $\varepsilon$ だけ小さくするために必要な最小の連続線形関数の数として定義された。
• 研究は、特に固有値 $\lambda_{j,r_k}^\textrm{\tiny E}$ および $\lambda_{j,r_k}^\textrm{\tiny W}$ のスペクトル解析に依拠し、$n(\varepsilon,d)$ の境界を導出する。
• 主な不等式および漸近的推定は、特に $j \geq 2$ のとき $\lambda_{j,r_k} \sim r_k^{-2}$ となる固有値の減少率と、$k$ に関する積の一様収束性に依存して導出された。
• 証明は、tractability 理論の基準に従い、$\tau \in (3/5,1)$ および $s > 1/2$ のときの $r_k^{-2\tau}$ および $r_k^{-2s}$ を含む級数の収束条件を用いた。
• 関数値と線形関数型アルゴリズムの間の既知の関係を活用し、両クラスに共通する結果が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさパラメータ $\{r_k\}$ がどのような条件下で、オイラー統合過程における強い多項式 tractability が達成されるか。
• RQ2 オイラー過程とウィナー過程の間で、強い多項式 tractability を達成するための要件にどのような差があるか。
• RQ3 $r_k$ の増加率が、両過程における弱い tractability を決定づける役割を果たすか。
• RQ4 ウィナー過程において、準多項式 tractability は $r_k$ の観点から特徴づけられるか。また、オイラー過程との比較はいかがなものか。
• RQ5 もし $\lim_{k\to\infty} r_k < \infty$ であれば、情報複雑度 $n(\varepsilon,d)$ はどのように変化するか。

主な発見

• 強い多項式 tractability は、オイラー過程において $\liminf_{k\to\infty} \frac{r_k}{\ln k} > \frac{1}{2\ln 3}$ が成り立つ場合にかつその場合に限り成立する。
• ウィナー過程では、強い多項式 tractability は、ある $s > \frac{1}{2}$ に対して $\liminf_{k\to\infty} \frac{r_k}{k^s} > 0$ が成り立つ場合にかつその場合に限り成立する。
• 弱い tractability は、両過程において $\lim_{k\to\infty} r_k = \infty$ のときかつその場合に限り成立する。それ以外の場合は次元の呪いが発生する。
• 両過程における多項式的および準多項式的 tractability は、それぞれ $r_k^{-2}$ および $r_k^{-2\tau}$（$\tau \in (3/5,1)$）の減少率に関する条件によって特徴づけられる。
• もし $\lim_{k\to\infty} r_k = r < \infty$ であれば、すべての $\varepsilon \in (0,1)$ に対して $n(\varepsilon,d)$ は $d$ に関して指数関数的に増加する。これは次元の呪いを示している。
• 結果として、固有値の減少が遅く、tractability のための滑らかさ要件が厳しいことから、ウィナー過程はオイラー過程よりも近似が根本的に困難であることが明らかになった。