[論文レビュー] Tractable Answer-Set Programming with Weight Constraints: Bounded Treewidth is not Enough

Reinhard Pichler, Stefan Rümmele+2 more|Apr 13, 2012

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、重み制約を伴う答え集合プログラミングの tractability を、有界な木幅を用いて調査し、標準的な木幅だけでは tractability が不十分であることを示している。追加のパラメータとして制約幅を導入し、PCC（基数制約）に対して非一様多項式時間複雑性を達成する動的計画法アルゴリズムを提示している。一方、標準的仮定のもとで W[1]-hard であることが示され、固定パラメータ tractability が不可能性であることが示されている。

ABSTRACT

Cardinality constraints or, more generally, weight constraints are well recognized as an important extension of answer-set programming. Clearly, all common algorithmic tasks related to programs with cardinality or weight constraints - like checking the consistency of a program - are intractable. Many intractable problems in the area of knowledge representation and reasoning have been shown to become linear time tractable if the treewidth of the programs or formulas under consideration is bounded by some constant. The goal of this paper is to apply the notion of treewidth to programs with cardinality or weight constraints and to identify tractable fragments. It will turn out that the straightforward application of treewidth to such class of programs does not suffice to obtain tractability. However, by imposing further restrictions, tractability can be achieved.

研究の動機と目的

• 有界な木幅が、重み制約付き答え集合プログラミングの tractability を保証するかを特定すること。
• 木幅を超える追加の構造的パラメータを同定し、PWC および PCC のための tractable 解法を可能にするものである。
• PCC に対して非一様多項式時間複雑性を達成する動的計画法アルゴリズムを開発すること。
• PCC および PWC の一貫性問題のパラメータ化された複雑性を、異なるパラメータ化の下で分析すること。
• 提案されたアルゴリズムの時間計算量を向上させる理論的限界を確立すること。

提案手法

• PWC や PCC の木幅を、そのインシデントグラフを用いて定義する。
• 制約幅を、重み制約の下限または上限に現れる最大の整数として導入する。
• 木分解上で動作する動的計画法アルゴリズムを設計し、各バッグ内のアトムの順序を追跡する。
• 木モデルとそれに付随するモデル集合を用いて、潜在的モデルとその最小性条件を維持するデータ構造を用いる。
• PCC の一貫性問題が木幅をパラメータとして W[1]-hard であることを示し、固定パラメータ tractability が不可能であることを証明する。
• 木分解およびアルゴリズム的コンponents の効率的実装に、SHARP フレームワークと htdecomp ライブラリを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な木幅は、重み制約付き答え集合プログラミングの一貫性問題の tractability を保証するのに十分か？
• RQ2 木幅を超える追加の構造的パラメータ—特に PWC および PCC のためのもの—は、tractable 解法を可能にするか？
• RQ3 有界な木幅のもとで、PCC の一貫性問題の最適時間計算量は何か？
• RQ4 提案された動的計画法アルゴリズムを、一進表記での重みをもつ PWC に拡張可能か？
• RQ5 PCC の一貫性問題が木幅をパラメータとして固定パラメータ tractability (FPT) に達する可能性はあるか？

主な発見

• PWC の一貫性問題は、木幅が 1 に有界であっても NP-complete のままであり、木幅だけでは tractability が不十分であることを示している。
• 木幅と制約幅の両方が定数に有界であるとき、PWC の一貫性問題は線形時間で tractable になる。
• PCC については、動的計画法アルゴリズムにより、非一様多項式時間複雑性が達成され、実行時間は O(f(w) · n^{2w}) となる。ここで w は木幅、n はプログラムサイズである。
• 問題が木幅をパラメータとして W[1]-hard であることが証明されているため、アルゴリズムの時間計算量は標準の複雑性仮定のもとで最適である。
• 重みを一進表記で扱う PWC にアルゴリズムを拡張すると、非一様多項式時間 tractability が得られる。
• 固定パラメータ tractability (FPT) は不可能であり、問題が木幅パラメータ化のもとで W[1]-hard であるため、一般的な仮定のもとで現在の境界が最良であることが示されている。