[論文レビュー] Tractable Fragments of the Maximum Nash Welfare Problem

Jugal Garg, Edin Husić+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2021

Auction Theory and Applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、同一で加法的な評価を持つ非対称なエージェントへの分割不能財の割り当てにおけるナッシュ福利の最大化のためのPTASを提示する。これは、対称なエージェントに対する既存の結果を一般化したものである。また、定数個の非対称エージェントに対するFPTASおよび、高々2つの財を評価するエージェントに対する多項式時間アルゴリズムを提供しており、3つ以上の財を評価する場合に結果のタイトネスが示されている。

ABSTRACT

We study the problem of maximizing Nash welfare (MNW) while allocating indivisible goods to asymmetric agents. The Nash welfare of an allocation is the weighted geometric mean of agents' utilities, and the allocation with maximum Nash welfare is known to satisfy several desirable fairness and efficiency properties. However, computing such an MNW allocation is NP-hard, even for two agents with identical, additive valuations. Hence, we aim to identify tractable classes that either admit a PTAS, an FPTAS, or an exact polynomial-time algorithm. To this end, we design a PTAS for finding an MNW allocation for the case of asymmetric agents with identical, additive valuations, thus generalizing a similar result for symmetric agents. Our techniques can also be adapted to give a PTAS for the problem of computing the optimal $p$-mean welfare. We also show that an MNW allocation can be computed exactly in polynomial time for identical agents with $k$-ary valuations when $k$ is a constant, where every agent has at most $k$ different values for the goods. Next, we consider the special case where every agent finds at most two goods valuable, and show that this class admits an efficient algorithm, even for general monotone valuations. In contrast, we note that when agents can value three or more goods, maximizing Nash welfare is NP-hard, even when agents are symmetric and have additive valuations, showing our algorithmic result is essentially tight. Finally, we show that for constantly many asymmetric agents with additive valuations, the MNW problem admits an FPTAS.

研究の動機と目的

• 対称なエージェントと比較してあまり理解されていない非対称なエージェントにおけるナッシュ福利最大化（MNW）の計算複雑性を扱う。
• 多項式時間または完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が達成可能なMNW問題の tractable な断片を同定する。
• 同一の評価を持つ対称なエージェントに対する既存のPTAS結果を非対称な場合に一般化する。
• エージェントが3つ以上の財を評価できる場合に問題がNP困難になるなど、 tractability の境界を同定する。
• k-値評価や限定的な価値のある財を持つ単調な評価構造などの特別な評価構造に対して効率的なアルゴリズムを提供する。

提案手法

• ベクトルスケーリングと同値類に基づく離散化と動的計画法を用いて、同一で加法的な評価を持つ非対称エージェントのためのPTASを設計する。
• 効用集約関数を変更することで、p-平均福利最大化問題にアルゴリズムを適応させる。
• 乗法的要因の境界を保証するため、代表的ベクトルの多項式サイズの集合を維持するためにReduce操作を用いる。
• ナッシュ福利の幾何平均構造を活用して、近似比を制御する制御された近似比を有する値集合の再帰的構築を行う。
• 財の数に関する帰納法を用いて近似比を証明し、近似集合内の最良解が最適解の(1+ε)倍以内にあることを示す。
• εと入力サイズに依存する実行時間の上限を設定することで、定数個の非対称エージェントに対するFPTASを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一で加法的な評価を持つ非対称エージェントに対して、対称ケースを一般化したPTASを開発できるか？
• RQ2 エージェント数が定数である場合、非対称設定下でもMNW問題にFPTASが存在するか？
• RQ3 各エージェントが高々2つの財を評価する場合、MNW問題の計算複雑性は何か？ そして、これは多項式時間で解けるか？
• RQ4 エージェントが3つ以上の財を評価できる場合、対称的かつ加法的評価のもとでも問題はNP困難になるか？
• RQ5 tractability の結果は、p-平均福利のような他の福利関数へも拡張可能か？

主な発見

• 同一で加法的な評価を持つ非対称エージェントに対して、任意の固定されたε>0について多項式時間で(1−ε)近似を達成するPTASが開発された。
• このPTASはp-平均福利最大化問題へも拡張可能であり、アルゴリズムフレームワークの広範な適用可能性を示している。
• kが定数である場合、k-値評価を持つ同一エージェントに対して、正確な多項式時間アルゴリズムが提示され、この場合のMNW問題が効率的に解けることが示された。
• 高々2つの財に価値を見出す単調な評価を持つエージェントに対しては、強多項式時間アルゴリズムが設計され、この制限付き設定での tractability が示された。
• エージェントが3つ以上の財を評価できる場合、対称的かつ加法的評価のもとでも問題はNP困難になることが示され、多項式時間結果のタイトネスが証明された。
• 加法的評価を持つ定数個の非対称エージェントに対してFPTASが確立され、対称ケースにおける類似結果が一般化された。