[論文レビュー] Tractable Lineages on Treelike Instances: Limits and Extensions

Antoine Amarilli, Pierre Bourhis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 48被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、多項式階層がサブ指数的時間にサブ指数的アドバイスを伴って崩壊しない限り、木構造のインスタンスにおける扱いやすいラインエージェンスは制限されることを確立している。もしグラフクラスが多項式対数的幅が無限大であり、部分グラフに関して閉じているならば、そのようなインスタンスにおけるMSOクエリは、ウォールグラフへのトポロジカル埋め込みと多項式時間変換による還元を活用することで、サブ指数的時間とサブ指数的アドバイスを用いて評価可能であることを示している。

ABSTRACT

Query evaluation on probabilistic databases is generally intractable (#P-hard). Existing dichotomy results have identified which queries are tractable (or safe), and connected them to tractable lineages. In our previous work, using different tools, we showed that query evaluation is linear-time on probabilistic databases for arbitrary monadic second-order queries, if we bound the treewidth of the instance. In this paper, we study limitations and extensions of this result. First, for probabilistic query evaluation, we show that MSO tractability cannot extend beyond bounded treewidth: there are even FO queries that are hard on any efficiently constructible unbounded-treewidth class of graphs. This dichotomy relies on recent polynomial bounds on the extraction of planar graphs as minors, and implies lower bounds in non-probabilistic settings, for query evaluation and match counting in subinstance-closed families. Second, we show how to explain our tractability result in terms of lineage: the lineage of MSO queries on bounded-treewidth instances can be represented as bounded-treewidth circuits, polynomial-size OBDDs, and linear-size d-DNNFs. By contrast, we can strengthen the previous dichotomy to lineages, and show that there are even UCQs with disequalities that have superpolynomial OBDDs on all unbounded-treewidth graph classes; we give a characterization of such queries. Last, we show how bounded-treewidth tractability explains the tractability of the inversion-free safe queries: we can rewrite their input instances to have bounded-treewidth.

研究の動機と目的

• 木構造のインスタンスにおける扱いやすいラインエージェンス計算の理論的限界を特定すること。
• アドバイスに基づくサブ指数的時間でのMSOクエリ評価に関する先行研究における誤った証明を解消すること。
• 多項式対数的幅が無限大であるグラフクラスにおいてMSOクエリが効率的に評価可能となる条件を確立すること。
• PHがサブ指数的時間にサブ指数的アドバイスを伴って含まれる場合にのみ、そのような評価が可能であることを示す修正済みの証明を形式化すること。
• 平面グラフのウォールグラフへのトポロジカル埋め込みが、アドバイスを用いて効率的なクエリ評価を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 先行研究における誤り（アドバイスが入力内容に依存するのではなく入力長に依存すべきであった）を是正したTheorem LABEL:thm:ganianvariantの修正証明を用いる。
• 多項式階層の問題を、次数3の平面グラフ上のMSOクエリへの多項式時間還元を適用する。
• Proposition LABEL:prp:embed を用いて、任意の次数3の平面グラフをサイズO(n⁴)のウォールグラフへ多項式時間で埋め込む。
• Lemma LABEL:lem:extract を用いて、家族Gに属する高木幅のグラフから、ウォールグラフをトポロジカルマイナーとして特定する。
• 高木幅のグラフGₘと、それへの埋め込み(fₘ, gₘ)を含むアドバイス文字列を構築し、そのサイズをO(2^{m^ε})に制限する。
• 還元出力とアドバイスを組み合わせて、クエリグラフをGₘに埋め込み、Gₘ上でのサブ指数的時間アルゴリズムにより評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、木構造のインスタンスにおけるMSOクエリがサブ指数的時間とサブ指数的アドバイスを用いて評価可能となるか？
• RQ2 先行研究におけるTheorem LABEL:thm:ganianvariantの証明が誤りである理由は何か？そして、どのように是正できるか？
• RQ3 次数3の平面グラフはウォールグラフへ効率的に埋め込めるか？その影響はクエリ評価にどのような意味を持つのか？
• RQ4 木幅、トポロジカルマイナー、およびラインエージェンス計算の複雑さの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 サブ指数的アドバイスの存在が、多項式階層に与える影響は何か？

主な発見

• Theorem LABEL:thm:ganianvariantの証明が是正され、アドバイスが入力内容ではなく入力長にのみ依存すべきであることが示された。
• 多項式階層に属する任意の問題について、グラフクラスGが多項式対数的幅が無限大であり、部分グラフに関して閉じているならば、任意のε > 0に対して、時間O(2^{m^ε})とサイズO(2^{m^ε})のアドバイスで問題を解ける。
• アドバイス文字列の構築には、木幅が少なくともm^{10·l·α}以上で、サイズO(2^{m^{ε/8(d+2)}})のグラフGₘ ∈ Gを選び、サイズm^{5l} × m^{5l}のウォールグラフへの埋め込みを含める。
• 木幅1のインスタンスにおけるMSOクエリのラインエージェンスは、パリティ関数の下界により、式表現でΩ(|I|²)のサイズを要することが示された。
• n個の入力を含む結合的クエリに不等号制約を含む場合、ラインエージェンスのサイズはΩ(n log log n)であり、回路複雑度における既知の下界と一致する。
• Gₘに埋め込まれたグラフ上のMSO式の評価は、dがグラフクラスの性質から得られる定数であるとき、時間2^{O(log^{d+1} n)}で実行可能であり、これによりサブ指数的時間での評価が可能となる。