[論文レビュー] Tractable Reformulations of Distributionally Robust Two-stage Stochastic Programs with $\infty-$Wasserstein Distance

Weijun Xie|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Risk and Portfolio Optimization参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、二段階の確率的プログラム（DRTSP）の分布ロバスト性を保証するための∞-ウォサースタインのあいまいさ集合に対して、二値変数の性質と確率的パラメータのサポート情報を利用することで、取り扱い可能な凸型再定式化を提供する。主な貢献は、最悪ケースの期待リカバリー費用が凸計画法によって効率的に計算可能となる十分条件を特定することであり、これにより、元の意思決定空間に自然に投影され、ロバスト性ペナルティが追加された解釈可能なロバストな解が得られる。

ABSTRACT

In the optimization under uncertainty, decision-makers first select a wait-and-see policy before any realization of uncertainty and then place a here-and-now decision after the uncertainty has been observed. Two-stage stochastic programming is a popular modeling paradigm for the optimization under uncertainty that the decision-makers first specifies a probability distribution, and then seek the best decisions to jointly optimize the deterministic wait-and-see and expected here-and-now costs. In practice, such a probability distribution may not be fully available but is probably observable through an empirical dataset. Therefore, this paper studies distributionally robust two-stage stochastic program (DRTSP) which jointly optimizes the deterministic wait-and-see and worst-case expected here-and-now costs, and the probability distribution comes from a family of distributions which are centered at the empirical distribution using $\infty-$Wasserstein metric. There have been successful developments on deriving tractable approximations of the worst-case expected here-and-now cost in DRTSP. Unfortunately, limited results on exact tractable reformulations of DRTSP. This paper fills this gap by providing sufficient conditions under which the worst-case expected here-and-now cost in DRTSP can be efficiently computed via a tractable convex program. By exploring the properties of binary variables, the developed reformulation techniques are extended to DRTSP with binary random parameters. The main tractable reformulations in this paper are projected into the original decision space and thus can be interpreted as conventional two-stage stochastic programs under discrete support with extra penalty terms enforcing the robustness. These tractable results are further demonstrated to be sharp through complexity analysis.

研究の動機と目的

• ∞-ウォサースタインのあいまいさ集合下での分布ロバスト二段階確率的プログラム（DRTSP）に対する正確な取り扱い可能な再定式化の欠如に対処すること。
• DRTSPにおける最悪ケースの期待待ったてしコストが、凸最適化によって効率的に計算可能となる十分条件の開発。
• 二値の確率的パラメータを有するDRTSPに対して、その構造的性質を活用して再定式化フレームワークを拡張すること。
• 再定式化されたロバスト解を元の意思決定空間に投影し、明確なロバスト性ペナルティを備えた解釈可能なモデルを生成すること。
• 複雑性解析と数値実験を通じて、再定式化の鋭さと実用的有効性を示すこと。

提案手法

• 第一段階で即時意思決定を選び、第二段階で経験分布を中心とする∞-ウォサースタインのあいまいさ集合上での最悪ケース期待リカバリー費用を最小化する二段階最適化問題としてDRTSPを定式化する。
• ∞-ウォサースタイン距離の双対表現を用いて、ウォサースタインのあいまいさ集合の双対性を活用し、最悪ケース期待値を凸最適化問題に再定式化する。
• 二値の確率的パラメータの構造を活用して、取り扱いやすさと解釈可能性を保った専用の再定式化を導出する。
• 得られたロバスト再定式化を元の意思決定空間に投影し、分布のロバスト性を強制するペナルティ項を追加した通常の二段階確率的プログラムを生成する。
• 実験的サンプルを用いてあいまいさ集合を定義し、障害が発生する施設配置問題に再定式化を適用し、性能を検証する。
• 複雑性解析を用いて、提案された再定式化が鋭いことを示す。つまり、正確性を失わずにはさらに単純化できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∞-ウォサースタインのあいまいさ集合を有するDRTSPにおける最悪ケース期待リカバリー費用が、正確に取り扱い可能な凸計画法として再定式化可能な条件は何か？
• RQ2 二値の確率的パラメータの構造をどのように活用することで、連続的不確実性を超えた取り扱い可能な再定式化を拡張できるか？
• RQ3 ロバスト再定式化を元の意思決定空間に投影することで、明確なロバスト性ペナルティを備えた解釈可能なモデルが得られるか？
• RQ4 確率的パラメータのサポート情報の組み込みが、標準的なSAAモデルやノーマルモデルと比較して、解の保守性と性能にどのように影響するか？
• RQ5 提案された再定式化の計算複雑性は何か？また、取り扱いやすさと解の品質の観点から、既存の手法と比較してどうなるか？

主な発見

• 提案された再定式化により、十分条件のもとで最悪ケース期待リカバリー費用が正確に取り扱い可能な凸計画法によって計算可能となり、DRTSPにおける正確な取り扱い可能な再定式化に関する文献の空白を埋めた。
• 二値の確率的パラメータに対しては、その離散的かつ有界な構造を活用することで、再定式化技術が拡張され、取り扱いやすさと解釈可能性が保たれた。
• 再定式化モデルは元の意思決定空間に投影され、ロバスト性を強制するペナルティ項を追加することで、追加のロバスト性ペナルティを持つ通常の二段階確率的プログラムとして解釈可能となる。
• 数値結果から、ウォサースタイン半径θを大きくすると総コストが増加するが、同じθに対して、標準DRTSPモデル（12）と比較して、提案された再定式化モデル（30）は一貫して顕著に低いコストを示しており、保守性が低いことが示された。
• 障害確率pが0.01から0.05に上昇すると、θ > 0のときモデル（12）は実行可能解が得られなくなるが、モデル（30）は依然として実行可能であり、最適な施設配置を特定することができ、優れたロバスト性を示した。
• 最適なウォサースタイン半径は、SAAモデルの95%信頼区間を超える総コストとなる最小のθとして選べる。p = 0.01の場合はθ = 0.02、p = 0.05の場合はθ = 0.06であり、データ駆動の選択戦略であることが示された。